Kira | 第二类曲面积分

1️⃣如何看懂第二类面积分

双侧曲面VS单侧曲面

• 双侧曲面：法向量经过一圈能恰好回来原位置

• 单侧曲面：法向量经过一圈，回来的地方时原来位置的相反面

流量

质量流量：单位时间内通过某个截面的流体的质量.

公式：质量流量 = 流体密度*速度*截面积

流量公式：m = A·v·n

• 注意n是单位法向量

用流量理解第二类曲面积分！

Δm = Δs·v·n

=(Pcosα +Qcosβ +Rcosγ)·Δs

• Rcosγ·Δs：Δs在xOy面投影

=Pdydz +Qdzdx +Rdxdy

dydz表示yOz面上的总流量，dzdx表示zOx面上的总流量，dxdy表示xOy面上的总流量

2️⃣第二类曲面积分怎么算

第二类曲面积分标志：dxdy、侧的方向

直接投影法（一投二代三定号）

往自己的面投影，不能选面！

• 一投：dxdy，往xOy面投影

• 二代：若zdxdy，把z(x,y)代入

• 三定向：若Σ是上侧、前侧、右侧，则为正

第二类曲面积分变成三个面各自的二重积分，最终相加

第二类曲面积分的运算性质：

性质1（线性性）：区域不动，拆函数

性质2（积分曲面可加性）：积分不动，拆区域

性质3（方向性）：Σ⁻表示与Σ取相反侧的有向曲面

第二类曲面积分的普通对称性

偶零奇倍

【例1】

对谁积分，投到哪张面

注：投影时，Σ上任意两点的投影点不能重合（意味着Σ方程不同，需分别代入）

将Σ分为Σ₁、Σ₂上下两片，Σ₁=……，Σ₂=……

再写一下Dxy的范围

一投二代

化成二重积分，来个极坐标换元

【例2】

将Σ方程代入到被积函数中，达到简化计算的效果.（两类线面积分都可如此操作！）

“Σ是x,y,z之间永远满足的约束.”——沃·茨基硕德

写一下Σ₁、Σ₂

拆成三个第二类曲面积分

一投二代三定号

由对称性，同理

可以往其他坐标面投影吗？

dydz变成-Zₓ'

dzdx变成-Zy'

dxdy不变

如果Σ取上侧，则为正；反之则为负

注意：z在Dxy上可偏导

缺谁对谁到，东道主是主人

【例3】

都变成在xOy上的投影

由转换投影法

转化成二重积分，看看能不能偶倍奇零

区域是圆，可以用轮换对称性

再来个极坐标换元

小练习