00:00 Hello
00:01 Everybody
00:01 我是神奇小猪
00:03 今天我们来讲一讲解三角形当中最难的问题
00:07 多三角形
00:08 如果你在题目当中遇见中线和角分线的时候
00:11 除了会列正余弦定理
00:13 其余什么都不会的话
00:14 那么神奇小猪的这个视频就是你高考的救命药
00:20 中线问题
00:21 顾名思义就是已知中线长度
00:23 问三角形当中其他的边是多少
00:25 或者已知三角形当中的其他量
00:27 问中线长度AD为多长
00:30 为了让大家速成解三角形面不改色
00:33 心不跳的首任高考题
00:35 神奇小猪将介绍向量法和贴贴法
00:37 两种不同的解题技巧
00:41 中线问题的向量法
00:43 哭哭
00:44 我们先来看第一个方法向量法
00:47 如果题目当中给大家一些条件
00:48 比如说边长AB变成AC都给了值
00:52 而且呢还给了我两边的夹角
00:54 阿尔法的值的话
00:55 大家来想一想
00:56 那你说这个中线长度AD应该怎么确定呢
01:01 那有同学可能会问了老师这道题
01:03 我可不可以利用一次正弦定理或者余弦定理
01:05 来解决呀
01:06 本质上
01:06 用一次正余弦定理是没有办法解决中线问题的
01:10 那么我们到底应该如何利用上D点
01:12 是中点这个条件的
01:14 我们在向量其实已经学过了
01:15 我们这个中线
01:16 那这个向量其实能这样表示
01:18 AD向量可以写为二分之1ab加二分之1ac啊
01:23 那么这个毕竟是一个向量式
01:24 这里面如何利用上
01:25 人家题目当中的这个边长以及夹角呢
01:29 因为毕竟这个式子里面没有边长
01:31 也没有夹角
01:32 那我可以把这个限量是两边平方吧
01:35 一两边平方完
01:36 这不里面不就既有模长又有夹角了吗
01:39 大家来看一下两边平方
01:40 大家注意右边的这个式子是一个完全平方式
01:44 平方的时候呢
01:45 左边平方右边平方要乘以二倍两者的数量级
01:49 那有的同学一看到这个数量积
01:51 那数量积怎么表示呢
01:52 我们可以利用定义模长乘模长
01:55 乘以两个模长的夹角
01:56 那最后化简完的结果就是
01:58 它这里面既有边长ABAC又有夹角阿尔法
02:03 所以最后就能用这三个量表示出AD的长度了
02:07 那么总结一下
02:08 如果你在题目当中遇见中线
02:10 而且出现夹角的话
02:12 大家就果断的利用向量式来去运算
02:15 接下来我们牛刀小试做一道经典的中线例题
02:23 这大题呢有122个空
02:28 我们先来看第一个条件
02:29 那么这个条件呢显然就是让我来边化角
02:31 角化边
02:32 最后求出来角C是谁的
02:34 那你说你是边化角还是角化边的
02:35 这里面既有SA又有cos c
02:38 那显然角化边不好做
02:40 我可以尝试把边化成角C比A就是SC比SA
02:45 所以它就能化简成为sin c
02:47 SA加根号三倍的sin a cos c等于零
02:52 整个这式子里面每一项都有SA就直接约掉
02:55 因为SA是不能为零的
02:57 角A是一个三角形当中的角
02:59 所以sin c等于负根号三
03:02 COSCTGC就是副根号三
03:06 那么角C就有了呗
03:07 他就是120度
03:09 2/3派
03:11 在角C已经有了前提下
03:13 他又告诉了ab的一个终点是D
03:16 还告诉我CD这个中线长度为一
03:19 那同学们来想一想
03:20 你整个已经知道顶角120度了
03:23 你又有一个中线
03:24 那赶紧我们就利用我们的向量式来做呗
03:27 所以CD向量可以写成12倍的ca加CB
03:32 有了它想利用上模长和夹角
03:35 赶紧两边平方
03:36 CD平方就是一等于14倍的完全平方
03:39 是CA方和CB方分别是A方加B方加二倍
03:44 两者的数量积
03:47 这数量积呢
03:48 我们还利用定义等于模长乘模长乘以cos
03:52 120度
03:53 化简一下
03:54 最后得到四等于A方加B方减ab好了
04:00 那最后人家问我的是AB的最大值
04:03 那A乘B呢
04:04 我发现这式子里面已经有A乘B了呀
04:06 我只要把这个A方加B方搞掉就好了
04:09 那你说A方加B方跟ab什么关系啊
04:11 我们可以利用均值不等式来做呀
04:12 大于等于二倍ab再减ab
04:16 所以我们发现哎呦
04:17 那AB不就小于等于四吗
04:19 AB的最大值就是四啊
04:22 那如果你说老师这考试时间不够了
04:24 我可不可以蒙出来
04:25 答案呢也行
04:26 你夹角C在变
04:27 那变的过程当中
04:28 显然当它是等腰三角形的时候
04:31 那他应该取得最值的
04:33 那这一看120度的话
04:35 每一个角度是60度
04:36 一比一比根号三
04:37 这是一
04:38 这是根号三
04:38 这不就都是二嘛
04:40 所以2×2也是四
04:42 我们也能猜出来了啊
04:51 中线问题的贴贴TH
04:56 第二种解决中线问题的方法呢叫贴贴法
04:59 所谓贴贴呢
05:00 其实就是以中线两边的这个角为中心
05:03 这两角呢显然是互补的呗
05:05 所以既然你俩脚互补
05:06 那么它的cos值就应该是互为相反数的
05:10 那紧接着呢
05:10 我在左右两个不同的三角形里面
05:13 分别用一次余弦定理
05:16 那你就能得到两个余弦定理的一个大表达式
05:19 那这个表达式虽然长
05:21 但是大家不用担心
05:22 因为最终呢这里面这些东西都能消得掉
05:25 因为你这个D呀是终点
05:26 所以呢最后化简就得到了
05:28 我们最终的一个表达式
05:31 那么这个表达式呢是需要大家来记住的
05:33 我们来一起看一下他是谁
05:34 他说呀
05:35 A地方加AC方等于二倍的AD方加B地方
05:42 这个呢其实就是我们所谓的中线定理
05:47 也叫平行四边形的对角线定理
05:50 那这个贴贴法得到的结果
05:52 跟刚才的结果有什么不一样呢
05:53 这个结论这里面是没有任何角度的
05:57 它只有1234这四条边的关系
06:03 所以当如果同学们你在题目里面出现中线
06:06 而且出现角度的时候
06:07 你优先考虑向量法
06:08 因为向量法当中是有角度的
06:11 那如果你在题目当中一个角度没有
06:13 它全是边的关系
06:14 那显然我就利用中线定理来做
06:16 应该是最快的
06:18 插播一段广告
06:19 本栏目由神奇小猪自己赞助自己播出
06:22 欢迎大家关注神奇小猪
06:24 一起学习高考小妙招
06:27 首任高考第一
06:36 我们来看一道新题
06:38 题目中告诉我在三角形ABC中
06:40 它是一个等腰三角形
06:41 AB还等于AC
06:43 然后啊这是终点
06:44 那赶紧连接CD
06:46 他赶紧告诉我说CD是一个定值
06:49 是根号二
06:50 那出现中线了
06:51 那中线这长度咋用啊
06:53 你要么用贴贴法来做
06:54 要么用向量法来做
06:55 那整个这道题
06:56 我们看他在问周长的最大值是多少
06:58 那周长咋表示
06:59 我们看这是等腰三角形
07:01 你这是X这是X
07:02 那这个AC就是2X那为了得到周长三边之和呢
07:06 就差BC不知道的
07:07 赶紧把BC设成Y好了
07:09 人家问的我是4X加Y的最大值
07:13 那我再来看XY有啥关系啊
07:15 因为这里面是一个二元问题
07:16 俩变量俩变量有啥关系呢
07:18 整个这大题的一个角都没有
07:20 全是变
07:21 全是编
07:21 咋办呢
07:22 全是编
07:22 咱就可以利用贴贴法
07:24 利用中线定理呗
07:25 赶紧复习一下
07:26 中线定理
07:27 指的就是ab方加C方等于二倍的中线的地方
07:31 再加B地方
07:33 那在这个三角形里面
07:35 那就是AC方加BC方等于二倍的中线
07:40 CD方加A平方列出来
07:43 2X平方加Y方等于二倍的二加X方
07:48 化简一下啊
07:49 4X方减2X方就是2X方加Y方等于四
07:52 两边除以四
07:53 我们发现其实X和Y呢它满足这个方程的诶
07:56 挺像一个椭圆方程的啊
07:58 好那最后呢人家问的是4X加Y的最大值
08:01 那同学们一看到这个人家有平方
08:03 和问我和有的同学可能会想到
08:05 用不等式的方法来做
08:06 但实际上呢这是一种特殊类型的情绪值
08:09 今年2022年新高考二卷选择题
08:11 压轴考的也是这个类型
08:13 这个式子呢其实它叫二元二次式
08:17 啥叫二元二次式呢
08:19 你这里面有两个变量
08:20 两个圆
08:21 而且呢每一项的次数呢都是二那种
08:23 二元二次是最后求最值呢
08:25 我们比较常用的方法就是三角换元
08:29 咋个三角换元呢
08:30 其实两个平方和是一的话
08:33 那显然呢这个我就可以把它看成是cos阿尔法
08:36 这个呢我就可以把它看成sin r8呗
08:39 所以呢这个X就是根号二倍的cos阿尔法
08:42 Y我就可以写成二倍的sin阿尔法
08:45 这么换元有啥好处啊
08:46 老师你这把这个XY变成三角函数
08:49 那不是更难了吗
08:49 其实不是
08:50 你看这个式子
08:51 这个式子里面有两个变量
08:52 一个是X1个是Y
08:55 但是我通过三角换元里面
08:57 这就把两个变量都统一变成一个变量阿尔法了
09:00 它其实就帮助大家消圆了好了
09:03 那你设完之后呢
09:04 你这个4X加Y是谁呢
09:07 三加我能写成四倍的根号2cos阿尔法
09:11 加上二倍的sin阿尔法
09:13 A倍的cos加B倍的sin
09:15 这里面我可以利用辅助角公式
09:17 它就直接小于等于根号下32+4=6
09:23 所以最大值就求出来了
09:24 16我们最后一步用到的辅助角公式
09:28 大家不要忘了啊
09:29 A倍的sin加BD的cos
09:30 它能写成A方加B方开根号倍的sin
09:34 阿尔法角five
09:35 这个five的角度呢跟你的AB的取值是有关系的
09:37 但是无论怎么样
09:38 当你对阿尔法没有取值范围要求的时候
09:41 它整个sin值在正一之间
09:43 所以整个它就在正负根号下
09:46 A方加B方之间
09:47 那么回顾一下这道题
09:48 你会发现呢整个这道题呢连一个角都没有
09:51 全是边的关系
09:52 而且有中线的话
09:53 我们就首先利用中线定理来做
10:04 中线问题的定比分点模型
10:10 故乡啥是定理分点的
10:13 其实很简单
10:14 就是这点D啊
10:15 现在不是终点了
10:16 而是一个更一般的一个等分点
10:18 比如说人家告诉你
10:19 BD比DC是二比一
10:20 三比一或者三比二之类更一般的一种比例
10:23 那么大家在题目里面遇见这种比例的时候
10:26 不是终点
10:26 我们依然能用我们中线的方法来做
10:29 比如说第一种向量法
10:31 你既然已经有BD跟DC的一个比例关系了
10:34 所以呢我就能列出来一个有关BD
10:35 DC的一个向量
10:37 是这个向量式呢
10:39 这里面的BD和DC我可以分别利用AD减ab
10:46 AC减ab来表示
10:48 那么这两个向量就可以转化成为AD
10:52 ABAC这三个向量
10:54 这三个向量一有那两边直接平方平方完呢
10:58 你会发现这个式子里面
10:59 既有他们三个的一个模长
11:02 而且还有两者的夹角
11:04 阿尔法就可以求出AD的长度了
11:06 类似的贴贴法一样
11:08 我们就找这个定理
11:09 分点两边这两个角阿尔法和贝塔应该是互补的
11:12 所以cos值互为相反数
11:14 然后分别在左右的两个不同的三角形里面
11:17 列两次余弦定理
11:19 就能得到1235这五个边的一个等式
11:25 我们直接来看一道高考题
11:37 这题给了两个条件
11:39 一个是平方等于AC
11:40 另外一个式子呢挺长的啊
11:42 那最后呢人家问第一问
11:43 让我证明BD等于啊
11:46 那显然呢那第一个式子
11:48 第二个式子一联立应该化简完
11:50 就是第一问的答案了呗
11:51 那这里面呢
11:52 第一个条件好像是没有办法继续化简的
11:55 咱先放在这儿
11:56 我们来看第二个条件
11:57 第二条线的三角ABC跟角结果先画个图来看一下
12:04 D是AC上一点
12:06 具体哪个点不知道
12:09 那我们来看这俩角是谁吧
12:11 ABC这个角是角B吧
12:19 那sin b比3C我们利用正弦定理
12:22 我们知道SB与SC那就是边B比边C呀
12:24 所以整个式子它其实就是BD乘以B
12:28 等于A乘以CAC是谁呀
12:31 AC我们知道等于B方呗
12:33 所以一下就得到了BD
12:35 那不就是B嘛
12:36 所以第一问我们就一下证明来了
12:39 第一问搞定
12:39 我们来看第二问
12:40 我现在已经知道了BD就是B了
12:42 那我标一标
12:43 这是B这是C就是A啊
12:46 然后他告诉我地点在哪呢
12:48 地点呢他说是AD的二倍DC
12:50 所以这是二比一的关系
12:51 那整个AC的长度是B
12:53 所以AD呀
12:54 我就分别可以设成三分之2B和三分之1B好
12:59 那最后人家问什么呢
13:00 问我这个角ABC这个角是多大啊
13:04 那很多同学刚看到这道题
13:05 可能是处于一种比较懵逼的一个状态
13:08 因为ABC这三个边一个边都没有
13:11 直接问我这个角是多少
13:12 同学们比较迷茫
13:13 那我们来先找一找ABC到底有什么关系
13:16 我们知道第一个关系B方等于AC
13:19 那么你至少你得知道俩方程
13:21 你还得找到ABC的另外一个关系
13:23 俩方程才能解决这三个ABC变量的关系吧
13:27 所以呢ABC有啥关系呢
13:28 我把ABC标一标A在B在这C在这儿
13:35 我发现整个这三角形所有的量
13:37 我都要建立起关系
13:39 但是这里面的条件里面一个角都没有
13:42 所以我们只考虑编的话
13:43 当然首先利用贴贴法来做呗
13:46 所以阿尔法和贝塔既然是互补的
13:49 那么cos阿尔法就等于负的cos贝塔
13:52 那我分别在上下两个三角形里面列余弦定理
13:57 首先第一个三角形ABD余弦定理列出来
14:31 好化简到这儿
14:32 我们发现2A方加C方等于113
14:36 B方B方是谁啊
14:38 这里面
14:40 这里面既有A有B有C
14:42 我先削谁
14:43 怎么发现你B方不就是AC吗
14:46 所以我也这个也能写成113倍的AC
14:50 然后继续化简
14:51 两边乘以三
14:52 我得到六
14:53 A方加三次方减11
14:56 AC等于零
14:59 我们发现这个式子每一项的次数都是二
15:02 我们把它称之为叫
15:03 其次是其次是天然
15:04 你看的是两个变量
15:06 但其实它能变成一个变量的问题啊
15:08 怎么办呢
15:08 两边除以C方就好了
15:10 C方一除
15:12 就变成了一个有关AABC的一个一元方程了
15:17 这个一元方程呢我可以简单的因式分解一下
15:22 二倍的AC减33倍的AC减一等于零
15:29 那最后我发现哦
15:30 那原来呢ABC有两个值
15:33 ABC要么是32或者是13好了
15:39 那么中间过程我擦掉
15:42 我们现在知道了A等于二分之3C
15:45 或者A等于三分之1C啊
15:50 那这两种结果分别来算一下呗
15:51 B呢其实我也能用C来表示啊
15:53 因为B等于根号下AC
15:56 那么在第一种情况之下
15:58 那B呢就是二分之根号6C呗
16:01 那么在第二种情况下
16:03 B呢就是三分之根号3C呗
16:06 好了
16:07 那我这个A也好
16:08 B也好
16:08 我都能用一个量C来表示
16:13 现在得到ABC关系之后
16:15 我们再来想哦
16:16 那这个角B怎么求啊
16:17 那三边一角ABC都有了
16:19 想求这一个角
16:20 直接再次利用一个余弦定理来做cos角ABC
16:25 A方加C方减B方再除以RAG大家别怕
16:31 你别看这是ABC3个量
16:33 但是呢我们知道边A边B都可以转化成边C呀
16:35 它要么等于第一种情况
16:40 四分之9C方加C方减64
16:43 C方在B3C方
16:45 大家化简一下
16:46 你会得到它等于7/12
16:49 或者他是另外一种情况
16:56 化简完它等于7/6
16:59 那咱知道这cos值肯定在正一之间去吧
17:02 那这个就要舍去了
17:03 那么最后只有这么一个答案
17:06 7/12
17:07 所以总体来看这大题第一问难度不大
17:10 但是第二问这里我想算角B是多少
17:12 想算角B呢
17:13 自然ABC有啥关系啊
17:15 ABC第一个关系
17:16 题目中告诉我了
17:17 那ABC3个量
17:18 你想知道至少两个方程才行
17:20 所以另外一个人我得找到啊
17:21 怎么办呢
17:22 利用两次余弦定理贴贴法
17:24 找到ABC的第二个等式
17:26 AB都可以用C来表示
17:29 最终呢再利用一次余弦定理把这个cos b算出来
17:33 完美比心
17:37 欢迎大家点赞
17:38 投币收藏
17:39 祝大家猪突猛进
17:40 好运连连
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