【三角函数|基础】tan的两角和差公式（易）

三角恒等变换：正切（tan）两角和差公式

在上一个视频中 我们学习了正弦（sin）和余弦（cos）的两角和差公式 现在有同学会问：正切（tan）的两角和差公式怎么推导呢？

我们可以通过正弦和余弦的两角和差公式推导正切公式 已知：

tan(α±β) = sin(α±β)/cos(α±β)

将分子分母分别展开并同除以 cosαcosβ 可得：

tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)

tan(α-β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ)

公式特点：

• 分子与括号内符号一致（前加则分子加 前减则分子减）；

• 分母符号与分子相反（分子加则分母减 分子减则分母加）。

一、公式应用示例

例 1：计算 tan75°

tan75° = tan(45°+30°) = (tan45° + tan30°)/(1 - tan45°tan30°) = (1 + √3/3)/(1 - 1·√3/3) = 2 + √3

例 2：计算 tan15°

tan15° = tan(45°-30°) = (tan45° - tan30°)/(1 + tan45°tan30°) = (1 - √3/3)/(1 + 1·√3/3) = 2 - √3

记忆技巧：

• 75°=45°+30° 值为 2+√3；

• 15°=45°-30° 值为 2-√3（角越大 tan 值越大）。

二、典型例题解析

例 3：已知 tanα=3 求 tan (α+π/4)

tan(α+π/4) = (tanα + tanπ/4)/(1 - tanαtanπ/4) = (3 + 1)/(1 - 3×1) = -2

例 4：已知 tan (θ+π/4)=7 求 tanθ

设 tanθ=t 则：

(t + 1)/(1 - t) = 7 ⇒ t + 1 = 7(1 - t) ⇒ t = 3/4

例 5：已知 tanα 和 tanβ 是方程 x²+3x+3=0 的两根 求 tan (α+β)

由韦达定理：

tanα + tanβ = -3 tanαtanβ = 3

tan(α+β) = (-3)/(1 - 3) = 3/2

三、公式的巧用

类型 1：构造特殊角

例 6：化简 (1 - tan75°)/(1 + tan75°)

(tan45° - tan75°)/(1 + tan45°tan75°) = tan(45°-75°) = tan(-30°) = -√3/3

类型 2：利用角和关系

例 7：化简 tan25° + tan35° + √3 tan25°tan35°

注意到 25°+35°=60° 则：

tan60° = (tan25° + tan35°)/(1 - tan25°tan35°) = √3

tan25° + tan35° = √3(1 - tan25°tan35°)

代入原式：

√3(1 - tan25°tan35°) + √3 tan25°tan35° = √3

总结

正切两角和差公式的核心是：

1. 公式结构：分子与角和差符号一致 分母符号相反；

2. 解题关键：

   • 直接代入已知 tan 值计算；

   • 利用韦达定理结合根与系数关系；

   • 构造特殊角（如 45°、60°）或角和差关系简化计算。

我的笔记

（完）