【三角函数|基础】sin与cos的两角和差公式（易）
从这个视频开始，我们将学习一个全新的内容 —— 三角恒等变换。我们要研究的是什么呢？先举个小例子：在学习三角函数时，有同学遇到这样的问题：已知角 α 的值（如 45°）和角 β 的值（如 30°），那么 α+β 的三角函数值该如何计算？例如，cos75°（45°+30°）的值是多少？由于 75° 不是特殊角，我们需要通过三角恒等变换解决此类问题。
一、利用几何图形推导公式
我们通过一个直角梯形中的 “一线三垂直” 图形进行推导：
设定条件：在直角梯形中构造两个直角三角形，分别以 α 和 β 为锐角，设斜边为 1。
对于 β 角的直角三角形，邻边为 cosβ，对边为 sinβ。
对于 α 角的直角三角形，邻边为 cosα・cosβ，对边为 sinα・cosβ（通过相似三角形关系得出）。
辅助线与整体角分析：作垂直辅助线后，形成一个以 α+β 为锐角的直角三角形，其斜边为 1，邻边为 cos (α+β)，对边为 sin (α+β)。
推导 cos (α+β)： 通过水平线段关系可得：\(\cos(α+β) = \cosα\cosβ - \sinα\sinβ\) 简记为 “口口减赛赛”（余弦乘余弦减正弦乘正弦）。
推导 cos (α-β)： 将 β 替换为 -β，利用余弦偶函数性质（cos (-β)=cosβ）和正弦奇函数性质（sin (-β)=-sinβ），可得：(cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ) 即 “口口加赛赛”。
二、正弦两角和差公式的推导
回到几何图形，通过竖直线段关系推导 sin (α+β)：(sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ) 简记为 “赛口加口赛”（正弦乘余弦加余弦乘正弦）。 同理，sin (α-β) 可推导为：(sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ) 即 “赛口减口赛”。
公式对比：
公式类型和角（α+β）差角（α-β）余弦（cos）cosαcosβ - sinαsinβcosαcosβ + sinαsinβ正弦（sin）sinαcosβ + cosαsinβsinαcosβ - cosαsinβ
三、公式应用与解题技巧
类型 1：直接套用公式
例题：化简 cos20°cos25° - sin20°sin25° 解析：符合 cos (α+β) 公式，即 cos (20°+25°) = cos45° = √2/2，故选 A。
类型 2：结合诱导公式
例题：化简 sin20°cos10° - cos160°sin10° 解析：
cos160° = cos(180°-20°) = -cos20°，
原式变为 sin20°cos10° + cos20°sin10° = sin (20°+10°) = sin30° = 1/2。
类型 3：角的关系转化（整体法）
例题：已知 cos (α + π/12) = 3/5，求 sin (α + π/3)（α 为锐角）。 解析：
观察角的关系：π/3 = π/12 + π/4，
设 θ = α + π/12，则 sin (α + π/3) = sin (θ + π/4)，
利用和角公式展开：(sin(θ + π/4) = sinθcosπ/4 + cosθsinπ/4)
由 cosθ = 3/5（θ 为锐角），得 sinθ = 4/5，
代入计算：(4/5)・(√2/2) + (3/5)・(√2/2) = 7√2/10，故选 D。
类型 4：三角形中的角关系
例题：在△ABC 中，已知 sinA = 3/5，cosB = 5/13，求 cosC。 解析：
由三角形内角和：C = π - (A+B)，
cosC = cos(π - (A+B)) = -cos(A+B)，
展开 cos (A+B) = cosAcosB - sinAsinB，
由 A、B 为三角形内角，且 cosB = 5/13（B 为锐角），得 sinB = 12/13，
由 sinA = 3/5，A 为锐角（若 A 为钝角，则 A+B > π，矛盾），故 cosA = 4/5，
代入得：cos (A+B) = (4/5)・(5/13) - (3/5)・(12/13) = -16/65，
故 cosC = 16/65，选 A。
四、公式的严谨推导（单位圆法）
利用两点间距离公式推导 cos (α-β)：
单位圆设定：设角 α 和 β 的终边与单位圆交点分别为 P (cosα, sinα) 和 Q (cosβ, sinβ)，求出PQ长。
旋转图形：将角 β-α 的终边与 x 轴重合，交点为 R (cos (β-α), sin (β-α)) 和 S (1, 0)，求出RS长。
等式推导：由 | PQ|=|RS|，展开化简得：(cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ) 该推导适用于任意角 α、β，更具严谨性。
总结
通过几何图形和单位圆法，我们推导了三角恒等变换的核心公式（两角和差的正弦、余弦），并通过不同类型的例题展示了公式的应用技巧。关键要点包括：
牢记公式结构（“口口 ± 赛赛”“赛口 ± 口赛”）及符号规律；
善于发现角的关系（如和差为特殊角、整体代换等）；
结合三角形内角和、诱导公式等隐含条件判断符号。
我的笔记
（完）
