Kira | 第一类曲线积分

1️⃣如何看懂第一类线积分

对弧长的曲线积分：在指定的曲线上，把每段弧长求和积分

用质量理解第一类曲线积分！！！

在曲线上的质量微元

积分符号有圈：封闭曲线

第一类线积分的运算性质：

性质1：线性性

性质2：路径可加性：L₁和L₂可拆开

性质3：对1积分：s（L的弧长）

2️⃣第一类曲线积分怎么算？

【例1】

画图

L是x和y之间永远满足的约束.

计算原则：把L方程代入曲线积分，化为关于某一个变量(x, y, t, θ...)的定积分

弧长公式·复习

要求下线小于上限

把约束条件代入原积分，并把ds换成……dx(dt/dθ)

做定积分计算

总结

参数方程：

• 被积函数换成x(t)、y(t)

• ds 换成 ……dt

直角坐标：

• 被积函数换成x、f(x)

• ds 换成……dx

极坐标：

• 被积函数换成rcosθ、rsinθ

• ds换成……dθ

【例2】

三元函数情形

Γ：空间曲线

把原来的被积函数换成参数方程，并把ds变成……dt，并写出上下限

把不含t的常数提出来，做定积分计算

第一类曲线积分的化简神器

第一类曲线积分的普通对称性

• 被积函数形状和奇偶性配合

【例3】

先用普通对称性化简

再把L代入积分中，不一定要把y=……或x=……代入，满足约束关系即可（达到化简的效果）

再对1积分：求弧长（本题是周长）

第一类曲线积分的轮换对称性

平面曲线L关于y=x对称，y和x地位完全平等

A = A = 1/2(A+A)

空间曲线同理

【例4】

用轮换对称性

把L代入后，求弧长（圆的周长）

【例5】

（法一）轮换对称性，代入L

（法二）形心公式

第一类曲线积分的形心公式

质心：质量集中的点

对x的第一类曲线积分：形心×弧长