00:05 仔细观察上面几张图中的知识牌
00:07 看看有什么不寻常的地方
00:10 第一张图显示此牌仪器
00:13 用第二张图提示其边缘很锋利
00:16 不要触碰其边缘
00:17 而第三张则更有趣了
00:19 他提示行人不要撞到这个指射牌
00:22 这几张指射牌的存在似乎显得有些多余
00:25 因为他们都只是单纯的描述自己
00:28 而其正常的作用却是提示外在的事物
00:31 除此之外
00:32 我们也能从这些图中
00:34 抽象出一个非常有趣的概念
00:36 自我指涉
00:37 自我指涉是一个逻辑学的术语
00:40 当一个东西在描述自己时
00:42 我们称这个行为为自我指涉
00:44 简称自指
00:46 自指
00:46 同时是一个强大的数学工具
00:48 罗素在朴素集合论中引入自指
00:51 引发了第三次数学危机
00:53 哥德尔通过引入自指
00:55 证明了哥德尔不完备性天敌
00:57 而图灵的停机问题也是由自指所推导出来的
01:02 自指还经常出现在音乐
01:04 文学和美术领域
01:06 图中是著名画家埃舍尔的画作
01:09 画手的手描述的也是这样一个自我矛盾的局面
01:14 我们小时候已经听过从前有座山
01:17 山里有个庙的故事
01:18 这个故事通过不断循环往复地讲述
01:21 这个故事本身
01:22 刻画了语言中也普遍存在的自我指涉影子
01:26 这种语言化的自我指涉
01:28 在当代计算机算法中随处可见
01:31 这类算法被统称为递归
01:34 本视频不探讨递归相关的话题
01:37 而是带领大家感受一下
01:39 数学中两个比较有趣的自我指涉的例子
01:42 以及他们所潜在的数学谜题
01:48 第一个例子我们来了解一下函数
01:50 图像里包含这个函数图像本身的函数
01:53 我们称这个函数为自我指涉函数
01:57 2001年
01:58 JEFFTUPPER发表了一篇论文
02:00 里提到了这样一个有趣的不等式
02:02 被称为tube自我指涉公式
02:05 在这个公式中
02:06 mod表示取余数以及取模运算
02:10 比如五模二等于一
02:12 而这个向下的括号表示向下矩阵
02:15 比如3.66
02:16 上下矩阵等于三
02:18 当X在0~105
02:20 Y在N和N加16范围内
02:23 这个不等式的解对称的图像是这个样子的
02:26 其中N为下面这个天文数值
02:29 通过编程
02:30 我们来验证一下这个不等式的记忆图像
02:44 观察右边的函数图像
02:45 我们发现画图程序显示的的确是公式
02:49 那这样的函数是怎么构造出来的呢
02:55 其实在这个数值中涉及到X和Y的变量时
02:59 又加上了矩阵符号
03:00 如xi和YI是不等式的解除解
03:03 由于向下矩阵符号的存在区域
03:06 xi到xi加一和YI到YI加E的点也是该部分式解
03:12 因此满足不等式解的图像都是一格一格的
03:15 这样我们就可以将不等式右边的式子简化为
03:19 用整数解来代替的形式
03:21 其中xi和Y都是整数
03:24 我们用替换法继续将式子进行简化
03:27 你首先研究一下简化后的式子
03:30 根据计算机二进制数定义T乘以二的负K次方
03:34 相当于T对应的二进制数T2
03:36 由于K位假设K等于12
03:39 那么模二头的该式
03:40 实际上就是又以12位数值后的最右边一个数
03:44 图中这个数为零
03:46 不满足不等式的条件
03:47 因此对应的xi yi不是不等式减
03:50 以及坐标轴中对应的区域方格不图色
03:54 再来看数值K对于某一自函数T
03:56 当YI表示为17倍T的区间时
03:59 YIM17在每个T变化的区间内
04:02 产生周期为17的循环
04:04 而当xi慢慢增大时
04:06 可以恰好映射为所有的正整数
04:09 我们对称的坐标系来看
04:13 T等于零时
04:14 K值由于在下面这块区域RT等于一时
04:19 可以指着游离在上面这块区域
04:21 这和我们之前关于二进制的解释
04:26 对于不同的T1所对应的图像区域
04:28 区域内
04:29 每个像素和T中的二进制的每一位数值
04:32 一一对应
04:32 随着T值的增加
04:34 图像的像素会一点点的变化
04:36 当YI以及七足够大时
04:38 必然会出现一段高度为17的图像图像的样子
04:42 而不等式本身的样子相同
04:45 当然其实你也可以在里面找到任何
04:47 你想要的图像
04:48 只需要把图像还原为二进制数
04:51 并转化为十进制即可
04:52 在区间YI到YI加17之间都为你想要的图像
04:57 最后让我们来感受一下
04:59 整个tube不等式自我指涉的过程
05:27 第二个例子我们来看一个数列
05:30 从这个生神动画中能看出
05:32 这个数列有什么规律吗
05:36 可以发现下一个数是对上一个数值描述
05:39 比如121里面有一个一
05:42 一个二
05:43 两个一
05:44 要么111221就是它的下一个数
05:47 这个数列似乎在不断通过描述自己来生存
05:51 数列
05:51 我们通常把这个数列叫做外观数列
05:54 外观数列作为一个有趣的智力游戏
05:56 人们渐渐发现其中还大有文章
05:59 比如数列中的树虽然会越来越长
06:02 但数值四始终不会出现这些优雅的性质
06:06 成功引起了数学家们的围观
06:08 其中最引人注目的是
06:09 英国数学家杨康伟做出的成果
06:12 没错就是发明了生命游戏的那个数学家
06:14 1987年
06:15 杨康卫发现
06:16 这个数列相邻两数的长度之比
06:18 越来越接近一个固定的数
06:20 最终数列的长度增长率
06:22 大概稳定在30%左右
06:24 事实上
06:25 如果将数列中第N个数的长度即为LLM
06:28 则当N趋于无穷大的时候
06:30 LN加一除以LN
06:32 将区域一个极限
06:34 将康卫拔这个极限用西亚字母兰姆达表示
06:37 并证明了这个数值70一次方程的唯一实数解
06:40 它约为1.303577
06:43 这就是传说中的康维常数
06:45 大家或许会和我一样困惑
06:47 70一次方程的由来
06:49 通过查阅相关资料后
06:51 我发现了这个困扰我许久的谜题
06:53 康伟函数的推导依赖于康卫发现了另一个定理
06:57 从外观数列的第八个数列开始
06:59 所有的数都是由92个基本串所构成
07:02 下面的这个表格
07:03 按照字典数列出了这92个基本串
07:05 以及每一个串的长数
07:07 列
07:08 表的第四列给出了每个串迭代一次后
07:11 会演变成哪些串的序号
07:14 举例来说
07:15 第二个基本算是1112133
07:17 那么它的下一个数就是3112
07:20 1123是由第六四个基本传
07:22 和第62个基本串拼接速成的
07:25 外观
07:26 数列的第八项是由基本串24
07:28 和基本串39组成的
07:30 在此之后
07:31 所有的数列都在基本船之间互相演变
07:34 构成了越来越长的数值船
07:35 可以说这92个基本串就是92个原子
07:38 它们组成了外观数列世界中的各种数值串
07:42 这突然让我联想到那位生命
07:44 游戏中也有这样的类比
07:47 有了上面这张表格
07:48 我们就能算出数列中每一项的长度了
07:51 考虑一个9292的矩阵T
07:54 使用D列表示的就是基本串的演变情况
07:57 对于来说
07:58 不过基本上I将会演化出J和K
08:01 那么我们就令矩阵T中的DI列
08:04 DJ康等于基本串J与I的长度比
08:08 而DK行则为基本串K和I的长度比
08:11 按照这样生成的矩阵
08:13 为数列演化过程中的转移矩阵
08:15 图中越来的地方表示值越大
08:17 而白色框的值为零
08:19 由此可见该转移矩阵异常稀疏
08:21 由于外观数列的第八项
08:23 包含了基本船24和39
08:26 且他们俩的长度都是五
08:28 我们就用一个含92个元素的向量A来表示
08:32 外观数列第八项中各基本串所占的长度
08:35 于是底层A就反映了数列第九项的长度信息
08:39 T方程A则对应数列的第十项
08:42 D的N次乘A的对应数列中的DN加八项
08:46 于是我们便得到了一个关于数列长度
08:48 的递推关系
08:50 由于B的N次乘A为一个向量
08:52 对T的N次乘A取一范数即为数列的长度
08:56 我们根据范数的性质可知
08:59 T的N次乘A的一范数
09:01 小于等于T的N次的一范数乘以A的一泛函数
09:05 而A的一泛函数为数列第八项的长度
09:08 由CPU的定理可知
09:10 当N趋于无穷大时
09:12 T的N次的一范数等于LT的N次
09:15 其中bot为T的谱半径以及T最大的特征值
09:19 由于该矩阵的输出性
09:21 我们不能得到它的特征方程来求取特征值
09:24 则是零一负一三根
09:28 剩下的70一次方程恰有一个实根
09:31 它就是我们要找的数列增长数列
09:34 最后本视频还留了两个生成思维
09:36 类似的自我指涉数列
09:38 要为大家进行进一步思考
09:40 我会给出数列生成的动画
09:42 大家可以猜测一下生成过程
09:44 其中第二个数列在数列百科网站排第二名
09:47 围绕这个数列还有很多未解决的猜想
00:24
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