00:00 好这里是计氏数学
00:02 我是纪老师
00:02 我们接着讲导数啊
00:04 上期一个视频呢讲的这个求导法则
00:07 运算法则
00:08 我们在讲这个常用求导公式
00:12 把这个公式挨个挨个的证明一遍
00:15 尽管来说高中生不需要高考啊
00:20 也不需要你去掌握推导过程
00:23 但是我觉得这个公式的理解还是先演示一下
00:29 推导一遍
00:29 让同学们更深刻的理解
00:31 这样的话你推导了一遍的话
00:33 这些公式啊根本就不用背好吧
00:35 非得跟着我一起推导一遍
00:38 首先第一个第一个就没有必要用公式推导了
00:41 很简单
00:42 他无非就是无非就是这个函数图像啊
00:47 这是Y等于C啊
00:49 那么很显然它对任何一个一个地方啊
00:51 它的导数啊
00:53 它的导数都是零
00:53 那么它的切线他这个切线在任何地方切线呢
00:56 就是与X轴平行的好吧
00:59 第一个就不推导了
00:59 第二个好
01:01 首先我们根据求导法则啊
01:02 我们写出这个Y的导数啊
01:05 这个表现形式
01:07 那么很显然我们要对这个分子部分呢
01:10 我们进行整理
01:10 我们进行展开展开
01:12 怎么展开呢
01:12 很显然这个X加等等X的N呐
01:16 我们利用二项展开式
01:20 我们展开以后发现了哈
01:21 当X趋得到X趋近于零的时候
01:24 后面的这些部分呢
01:27 这些部分全部可以变来划一下
01:30 会比这一部分呢
01:33 全部没有了
01:35 因为它除除以德尔塔X的
01:37 还有德尔塔X
01:38 德尔塔X趋近于零环
01:39 那么这个这几年的部分全部没有了
01:42 那么而且不是X的NXN次幂
01:47 跟这个XN次幂CN0是一的
01:51 那么也抵消了也是一样的
01:54 也没有了
01:54 那么所以说
02:03 那么它的导数就是N倍的N减一好
02:08 第三个好
02:11 到这里的时候
02:11 我们很显然我们分子啊提出一个A的X次幂好
02:17 到了这里的时候啊
02:18 我们无计可施
02:20 真的不知道应该怎么办
02:22 不知道怎么办了哈
02:23 那么我们要进行变量代换
02:25 变量代换之前
02:26 我要讲一个知识自然数一的表示方法
02:33 自然常数E等于零
02:38 X趋近于正无穷一加X分之一的X次幂
02:44 或者是说你也可以写成哈
02:46 把这个X趋近于正无穷和替换成X趋近于零
02:49 那么趋近于零的话
02:51 X就会变X分之一
02:52 就变回XX就会变成FX分之一
02:56 它的值呢大概是大概是2.72啊
03:01 关于这个一的这个来历的话
03:03 以后我专门做期视频来讲讲
03:06 因为这些我们证明例子的时候
03:08 我们要用的自然就是一以为底的对数
03:11 所以说我们进行拓展
03:13 那么我们就要进行替换替换
03:15 我们怎么替换呢
03:16 我们转木点要把这个短短的
03:19 因为到现在目前来说到这一步哈
03:21 我们如果不替换的
03:22 我们真的是无计可施
03:23 没办法除也除不了对吧
03:25 那么我们只能换一种另一种概念表达
03:29 我们设P等于A的德尔塔X减一
03:32 那么德尔塔X就可以用用P1加P的表情
03:35 而且出现了一个对数
03:37 出现对数的话
03:38 那么我们所以说我们Y的导数等于好
03:43 利用换题公式啊
03:44 我们写上去把这个写上去写上
03:47 现在关键了
03:48 现在关键的关键的又要用到P了
03:51 我们很简单
03:52 我们要这个P
03:55 我们把P啊写到这个底数上面来
03:57 比如说那个P就是P分之一嘛
04:02 好我们这个把这个P啊写了这个底数
04:05 底数项目就是P分之一
04:06 哎其实我们不应该这样写
04:07 我们直接把这个P这样移下来的话就优雅一些
04:11 这样的话写的很难看
04:12 看这样的话一上一下
04:15 好的
04:16 现在对吧
04:17 现在是关键的关键的一点就出现了这个式子了
04:21 这个式子是一
04:28 哈德拉X趋近于零啊
04:29 加X在哪加都趋于零的时候
04:32 趋近于零的时候哈
04:34 那么在他P呢
04:36 那P呢P也趋近于零呢
04:39 趋近于零
04:39 这是一嘛
04:40 1-1=1吗
04:41 等于零嘛
04:42 也P趋近于当P出现趋近于零的时候
04:46 也就是相当于
04:49 自然数一的表示方法了
04:50 自然数二次趋近于趋近于零的时候
04:53 一减X分之一好
04:55 那么这个底数就是一了
04:59 我们就把这个底数啊
05:00 成功率换成一了
05:01 换成一就是AX乘以LNA好
05:05 我们这个已经正了哈
05:07 都已经中了
05:09 我们当这个底数A等于一的时候
05:11 A等于就是这个一
05:13 那么也就是等于就是刚好就等于A的X怎么了
05:16 这就不讲了
05:17 这刚好EX的对数是EX好
05:21 我们看第四章好
05:24 第四个首先用运用求导法则的话
05:26 我们把这个写下来
05:29 Y的增量除以X的增量
05:31 那么我们把这两项我们一合并合并就是除嘛
05:39 好除过来啊
05:41 就是这种情况
05:42 这种情况的话
05:43 我们再把这个that x分之一看来
05:47 这上面是指数好
05:50 我们通过看了我观察
05:52 我们研究发现它我们这里面的部分
05:54 这里面的部分的话很像是一个一了
05:58 自然数一了
05:59 但是还要缺一个X
06:02 缺一个X的
06:03 那么我们就贴一个X
06:05 前一个X前一个X我单独写还是单独写
06:11 单独写
06:12 看清眼神
06:13 有同学们看不清好
06:15 我们这里添加X就相当于在这个前面填了X
06:18 填面添了
06:19 那么下面要除一个除以X
06:25 那么等于因为X加上X趋近于零
06:29 那么就相当于什么呢
06:31 很显然相当于E的表达形式了
06:33 X趋于零
06:34 我们把这个地方看这个整体X嗯
06:39 把这个证明看看这个整体
06:43 把这个看成整体了
06:44 把这个前提看成X那么这个整体就是X分之一
06:48 打个1/10
06:50 因为德尔塔X趋近于零
06:52 那么就是X趋近于零
06:55 那么很显然我们就得到我强调一点哈
06:59 这里我红色的这个选择X跟这个不一样啊
07:02 我只是这个X只是一个替换的
07:05 替换的这个代数式
07:07 有个替换的字母
07:08 可以是为了任务写的M或者是N
07:11 这跟那不一样
07:11 看看混淆了
07:13 我怕同学们混淆了
07:14 这跟这个不一样哈
07:15 那么也就是说好这个换成自然差数一了
07:19 那么我们把这个写下来的好看一下
07:22 X乘以LNA分子一好啊
07:25 这种情况
07:27 当这个A等于A等于自然常数E的时候啊
07:31 这种情况的时候
07:33 那么这个这个LN1LN1就没有了
07:37 LN1等于一嘛
07:38 那么就等于就等于X分之一好就是这种情况好
07:43 我们再来证明第五段题目好
07:46 我们来看这里好
07:48 同样我们运用求导法则
07:50 我们把这个分子Y的增量
07:55 分母X的增量学到这里的时候
08:00 我们发现我们几乎我们没办法进行下去了
08:03 咱的X除什么了啊
08:05 怎么除了除除德莱克有意义吗
08:07 没意义
08:07 直接除
08:08 那么所以说我们要变形变形
08:10 我们用什么来
08:13 和差化积公式
08:15 我们前期第一专门有个视频讲过
08:17 和差化积公式啊
08:18 有的同学我朋友是否忘记了我这个细节哈
08:23 好这是我们之前讲过的和差化积公式
08:26 就是这个公式是怎么挣来的
08:28 它是根据两角和公式
08:31 两角差公式我们在这里我就不不正哈
08:34 就直接套用这个公式
08:36 直接套用那个公式
08:37 那么很显然阿尔法
08:40 阿尔法等于X加德尔塔X贝塔等于X
08:44 那么我们就得到了
08:48 我们这一套容易解
08:50 我们就知道了
08:51 这个阿尔法加贝塔除以20等于X加X
08:56 这里呢就是等于12加X
08:58 那么所以说我们这个就可以写成
09:00 上面就可以写成
09:04 好我们用核桃换机公式哈
09:05 我们到了这一步
09:06 到了这一步的话
09:07 很显然哈我们这个德尔塔X比二
09:10 德尔塔X比二
09:11 那么这里德尔塔X哇
09:12 这个二比下来就OK了
09:14 刚好我写下来好
09:17 到了这一步的时候
09:18 我们又要拓展一个知识了
09:21 大学可是实际上我以前讲过
09:23 如果仔细听的同学仔细听的话
09:25 曾经讲过讲过一个什么呢
09:29 好我们把这个二分之DX看作一个整体
09:32 那么我们也一直证明sin
09:35 sf2分子加公式是F2分之二是F
09:41 也就是说一种极限SFIDEFI哈
09:45 当FI趋近于零的时候
09:47 那么它的值啊是等于一的
09:50 曾经是实际上是正过的
09:52 如果说仔细听的时候
09:53 会发现我们这个scientific
09:55 什么是这个正确正确一些
09:57 我们这个范什么范
09:59 是这个弧度
10:00 是这个弧度
10:01 弧长与正弦
10:04 当这个点还运动
10:05 运动到这里的时候
10:06 它存在一种极限
10:08 它的极限值到到了这里的时候
10:11 也就是说正弦线比这个弧长
10:15 他们的指示等于一
10:19 它们的极限实际上也可以证的
10:21 你也可以用函数的单调性
10:22 用求导求单调性结论证明这个这个函数在二
10:26 在在0~2分之派上哈
10:29 它是单调减的
10:31 也就是说这个pp运动到这里
10:33 这个运动过程当中啊
10:35 它的值是在不断的变小
10:37 那么所以说我们就得到我们这个哈
10:40 也就是这一部分跟这部分就抵消掉了
10:42 就没有了
10:42 就一了好
10:44 既然这个是一
10:45 那么我们就在这cos x加二分之导数
10:48 大X趋近距离的
10:49 那么这里也是趋近距离
10:50 那么这个就是cos x好
10:53 这个我们就搞定了
10:55 来看这个
10:58 好同样Y的增量比X的增量
11:02 那么分子呢分子这种情况的话
11:05 我们用核桃换机公式和差化积公式的话
11:07 我不再进行证明了
11:08 不再进行结论
11:09 直接套用
11:13 好直接套用公式啊
11:15 我们得到这种情况
11:16 很显然这里的这里与这里的哈
11:19 他们底下的他们是一的
11:21 那么所以说它等于好
11:25 那两个是趋近于零
11:26 那么这部分是零
11:27 那么就最后结果就等于-3X不塞克
11:32 在这里好
11:34 第七第八第七第八呃
11:37 这个这几个我就不
11:38 我就直接用求导法则公式了哈
11:41 求导法则公式也用一下
11:42 同学们看一下
11:43 但是也很简单
11:44 直接写的特别简单
11:45 那么我们就写
11:50 所以我们要看看sin sin x cos x d进求导
11:57 那么是等于分母cos x的平方
12:02 分子sin x进行求导
12:05 COSX减sin x cos x进行求导
12:12 那么就等于3X进求导cos cos cos x平方
12:16 那么这个这个进求导就是负sin x
12:20 -3X乘以一个负sin x sin x平方
12:27 这就等于一比和sin x的
12:30 对吧好我是这种情况好
12:33 第八种同样非常简单的
12:36 我只是写了一下
12:37 不耽误大学的时间了
12:39 这时间太长了
12:40 3X4分之一那S方分之cos分子求导乘以分母
12:50 分子乘以分母求导好
12:53 最后接下来就是等这两天
12:56 计氏数学做有内容的教育自媒体
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