一、时域分析方法

1. 赫尔维茨判据（Hurwitz Criterion）

• 原理：基于特征方程系数构造赫尔维茨行列式，要求所有主行列式及其对角线子行列式均大于零。

• 条件：

  • (1)特征方程所有系数为正；

  • (2)各阶赫尔维茨行列式均大于零。

2. 劳斯判据（Routh Criterion）

• 原理：通过构造劳斯表，检查第一列元素符号是否一致。

• 条件：

  • (1)特征方程系数全为正；

  • (2)劳斯表第一列无符号变化。

• 特殊情况处理：

  • 首列出现零：用极小正数 ξ 替代，然后计算后续表中数据的符号。

  • 某行全零：通过辅助方程求导后继续计算。

二、复域分析方法

根轨迹法（Root Locus）

• 原理：通过分析开环传递函数的零极点分布，绘制闭环极点随增益变化的轨迹。

• 稳定条件：所有闭环极点位于左半s平面。

• 步骤：

  • (1)轨迹（渐近线、汇合分离点、出射角、入射角，以及虚轴交点等）；

  • (2)分析轨迹是否进入右半平面。

三、频域分析方法

1. 奈奎斯特判据（Nyquist Criterion）

• 原理：通过开环频率特性曲线包围 (−1,j0)点的次数N( N+、N-)和右半平面开环极点数 P 判断稳定性。

• 公式：闭环右半平面极点数 Z=P−2N

• 特殊处理：若开环传递函数含积分环节s (v≠0)，需绘制从 ω=0+ 起始的增补曲线。

• 步骤：根据传函得到P和N并计算Z。如果Z=0，那么系统稳定，反之则不稳定。

2. 对数频率稳定判据（Bode Plot）

• 原理：通过伯德图分析幅值穿越频率 ωc​ 处的相位裕度。

• 条件：

  • (1)幅值穿越频率处相位裕度 >0；

  • (2)相位穿越频率处幅值裕度 >0。

四、非线性系统方法

相平面分析（Phase Plane Analysis）

• 原理：绘制二阶系统的状态轨迹，通过相轨迹方向判断平衡点稳定性。

• 类型：稳定节点、鞍点、中心点等。

五、现代控制理论方法

李雅普诺夫方法（Lyapunov Stability）

• 原理：构造李雅普诺夫函数 V(x)，验证其沿系统轨迹的导数是否满足 V'(x)≤0

• 条件：

  • (1)V(x)正定；

  • (2)V'(x) 半负定。