00:03 同学们大家好

00:04 今天呢我们来讲解球的表面积公式

00:08 的推导与证明

00:09 切特变向运公式

00:10 我们知道它是等于四派R的一个平方

00:14 这公式怎么来呢

00:15 我们来看一下

00:18 首先呢我们先画一个球出来

00:22 我们列呢也是分割

00:24 然后再求和

00:25 再利用极限得到我们求的表面积公式

00:31 首先呢我们把嗯这个球的表面球面任意分割

00:37 注意这是任意分割成N份

00:41 也就是我们求分得的每一个小的曲面圆片

00:49 它们的面积不一定相等

00:51 也不是等分分割成N份

00:54 然后呢我们取其中的任意一份

00:57 假如说我们说DI个小圆片

01:02 那么它的面积呢我们就表示从SI

01:07 这时候我们球面的面积

01:13 那就是S表面积

01:15 S球体表面积等于S1加上S2

01:19 加上S3

01:20 一直加到SN

01:21 把这个N个曲面圆片

01:26 然后怎么样全部加起来

01:28 就是我们的球的表面积

01:33 再然后呢我们当N足够大的时候

01:38 我们这个曲面圆片呢它就会变小

01:43 当这个足够小的时候

01:45 我们这个曲面它实际上嗯就趋向于一个平面

01:55 这时候我们当N趋向于正无穷大的时候

01:59 也就是说这个我们发现这个

02:02 他可以看到一个锥体

02:06 他这个锥体这个高H这个高H

02:12 我们怎么样从这点往这个做

02:17 垂线我们垂线段是HH

02:21 它实际上和我们这个R

02:25 是相等的

02:28 这时候我们嗯这个椎体的一个体积

02:32 我们就可以计算一下

02:34 也就这个我们把标号是vi

02:37 它就等于1/3倍的底面积乘上这个高

02:42 这是我们第二个的一个体积

02:47 然后我们这个球的总体积

02:50 那实际上就等于一个把这些N个小圆片呃

02:54 对应锥的体积全部加起来

02:56 就等于V1加V2加VIE加到VN

03:02 然后呢我们再把这个带入

03:05 实际上它就等于一个13倍的S12

03:12 加上13倍的S22

03:17 加上省略号

03:18 加上13倍的SIR

03:23 加上13倍的SN2

03:28 我们把1/3和二提取一下

03:34 就约等于1/3倍的二

03:39 S1加上S2加上SI

03:46 加上

03:49 好我们刚刚已经知道

03:51 这个实际上就是我们的求导表面积

03:54 它就约等于13倍的rs表面积

04:05 好我们已经知道

04:07 也就是球的体积实际上等于什么呢

04:09 微求

04:13 他是等于43派R的立方

04:17 也就意味着它就等于一个好

04:20 13倍的2S表好

04:26 我们通过化简我们得到S表面积

04:31 球体表面积实际上就等于四派R的平方好

04:40 也就是我们把球的一个表面积公式推导出来了

04:45 数学一分钟

04:46 今天我们就讲到这里

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