上一节​，我们找到了一种控制线圈合成磁矢量的方法---SVPWM，但是仅停留在逻辑层面上。本节对SVPWM进行数学推导，给出最终的线圈控制函数。本节的目标为找到一个函数，输入目标线圈磁矢量，输出三相桥臂的pwm占空比。目标磁矢量可以有两种表示方式，一种是极坐标，一种是笛卡尔坐标(简单来说就是直角坐标系)。

极坐标形式：

电机转子旋转靠的是切向受力，在极坐标形式下，磁矢量方向和磁矢量强度都会对切向分力有影响，存在耦合问题，以后难以进行电机控制，因此可以将磁矢量表达方式改为笛卡尔坐标，将磁矢量解耦为切向和直向。

笛卡尔坐标形式：

由于极坐标形式下的推导非常简单清晰，因此本节先按照极坐标形式进行推导，形成大致的概念，再按照笛卡尔坐标形式进行推导。

本节推导过程不考虑物理单位，将各类数值归一化，比如扇区6个基础矢量长度视为1，pwm周期视为1，磁矢量强度最大为1，以后在推导结果上再乘物理量即可。

线性调制区

回顾上节的SVPWM扇区图，在此将坐标系建立在扇区图中心，扇区图中有6个基础矢量：

从图中可以看出，线圈磁矢量可以落在在扇形范围内任意位置，但是有一个问题，线圈磁矢量强度最大值不恒定，意味着电机转一圈的力矩有波动。所以我们将线圈磁矢量的范围限制为扇形内切圆，人为降低一些线圈磁矢量能达到的最大强度，让电机转动时力矩可以保持恒定，这称为线性调制（非线性过调制不在本文范围内）。

扇区pwm计算

从扇区图可知，如果目标线圈磁矢量落在扇区1，需要用pwm混合情况1和情况2；如果目标线圈磁矢量落在扇区2，需要用pwm混合情况2和情况3。同理，每个扇区都需要独立计算（你可能会想，为什么不把扇区1和扇区2合并起来用情况1和情况3进行混合？实际上这样混合出来的磁矢量强度较低）。

这里要注意，此处的主角是【线圈磁矢量】，而不是转子磁矢量。

以扇区1的计算为例：

考虑到线性调制，线圈磁矢量最大强度为扇区内切圆半径，由于6个基础矢量长度为1，因此内切圆半径等于。

以下计算过程先按照线圈磁矢量最大强度进行，最后将占空比乘上强度系数就可以实现强度控制。

根据正弦定理可得：

得到基础矢量的占空比和：

注意，式(1-1)得到的占空比是基础矢量的在一个周期内的比例（权重），桥臂的占空比后续再计算。

其余扇区的几何形状与扇区1是相同的，比如扇区2的计算只需在式(1-1)的基础上将减去60°。把扇区顺时针方向的基础矢量记号为，逆时针方向的基础矢量记号为，结果为：

总结：

以上均是按照线圈磁矢量最大强度计算得到的结果，要控制磁矢量强度，再乘上强度系数即可。

在此重复提醒，上面这张表有什么用？意思是目标线圈磁矢量落在哪个扇区，合成时就使用哪个扇区的基础矢量占空比结果。举例：目标线圈磁矢量角度是170°，强度是，属于落在第3扇区，那么在一个周期内，给情况3分配比例，给情况4分配比例，剩下的比例分配给零矢量，即可得到目标线圈磁矢量。

桥臂pwm计算

上部分我们获得了基础矢量的比例，我们的最终目标还是桥臂mos管占空比。

在一个周期内，分配完基础矢量后，剩下时间是分配给零矢量的。以扇区1为例，写成表达式：

零矢量的选择：

111和000两种桥臂状态都可以产生零矢量，应该怎么安排呢？如果一个周期内零矢量由111和000【平分】，这称为七段式SVPWM。如果一个周期内零矢量只有一种，这称为五段式SVPWM。五段式SVPWM比七段式SVPWM电流谐波更大，但是mos管开关次数更少。五段式SVPWM有各种各样的矢量分配顺序和零矢量选择方法，难度较大。这里只选择七段式SVPWM。

不同扇区只需要更改不同的基础矢量即可，再乘上强度系数，6个扇区的三相桥臂占空比为：

其中，，是强度系数，是顺时针方向的基础矢量，是逆时针方向的基础矢量，是在周期内的比例，是在周期内的比例，以及：

至此，将表(1-1)代入式(1-2)，我们得到了svpwm函数，输入为线圈磁矢量角度和强度，输出为。

纯c语言代码验证

将式(1-2)用C语言描述出来，这一定是你见过最简洁优雅的SVPWM函数：

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#define PI 3.14159265358979323846

#define deg_to_rad(a) (PI * (a) / 180)



typedef struct duty

{

  float d_u;

  float d_v;

  float d_w;

} duty_t;



/**

 * @brief 极坐标系下的svpwm

 *

 * @param theta 目标磁矢量角度

 * @param s 目标磁矢量强度

 * @return duty_t 三相桥臂占空比

 */

duty_t svpwm(float theta, float s)

{

  const float rad60 = deg_to_rad(60);

  const int v[6][3] = {{1, 0, 0}, {1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 1, 1}, {0, 0, 1}, {1, 0, 1}};

  int sector = 1 + theta / rad60;

  float t_m = s * sinf(sector * rad60 - theta);

  float t_n = s * sinf(theta - (sector * rad60 - rad60));

  float t_0 = 1 - t_m - t_n;



  duty_t duty;

  duty.d_u = t_m * v[sector - 1][0] + t_n * v[sector % 6][0] + t_0 / 2;

  duty.d_v = t_m * v[sector - 1][1] + t_n * v[sector % 6][1] + t_0 / 2;

  duty.d_w = t_m * v[sector - 1][2] + t_n * v[sector % 6][2] + t_0 / 2;

  return duty;

}



int main()

{

  for (float phi = 0; phi < 360; phi += 10)

  {

    // 这里我设置磁矢量与转子垂直，这样转子受力最大

    duty_t duty = svpwm(deg_to_rad(fmodf(phi + 90, 360)), 1);

    printf("%f,%f,%f,\r\n", duty.d_u, duty.d_v, duty.d_w);

  }

  return 0;

}

将运行结果用折线图绘制出来，可以看到三相桥臂占空比结果，将占空比设置给单片机的pwm产生器就可以控制电机旋转了：

目标磁矢量为笛卡尔坐标系形式的推导

上述推导的目标磁矢量形式为极坐标形式，但是磁矢量方向和磁矢量强度都会对转子切向分力产生影响，存在耦合问题，可以把磁矢量分解到转子的直向和切向进行解耦合，方便以后对转子切向单独进行强度控制（电机旋转只关注转子切向强度就可以了）。

轴，轴，d轴，q轴：

 轴和轴就是svpwm扇区图的xy坐标系轴，以后用词将混用轴和x轴、轴和y轴。

 d（direct，直接）轴与转子磁矢量平行，q（quadrature，正交）轴与转子磁矢量垂直。这两个轴很好理解，电机旋转靠的是转子切向受力（q轴），任何一个力都可以被分解到转子的直向和切向，也就是被分解到d轴和q轴。

按照笛卡尔坐标系形式，svpwm函数输入改为d、q轴的强度：

 在下面的推导之前，你可能会想，直接把磁矢量d、q数值转换到极坐标、，然后代入极坐标形式的svpwm函数不就好了，根本用不着下面复杂的推导？实际上，笛卡尔坐标转换到极坐标需要计算和变量开根号，计算耗时更大一些。如果觉得下面的推导太麻烦，而不介意计算耗时，这里提供直接的转换公式：。

 注意，转子角度可从电机编码器获取。

park变换：

在本小节的方法下，所有的矢量都在xy坐标系内，最好统一用xy坐标（轴和轴）表示，因此d、q轴需要转换到轴和轴。

从图中可以看出，d、q轴旋转角后与轴、轴相等，写成表达式为：

上面这个表达式就是反park变换。正park变换就是轴、轴转换到d、q轴，以后电流采样部分会用到。

扇区pwm：

到此，我们计算得到了线圈磁矢量的xy坐标，接下来就可以计算扇区pwm了。表(1-1)是我们已经计算过的，表(1-1)中的是磁矢量角度，与极坐标形式不同的是，笛卡尔坐标系形式的磁矢量并未给定，根据xy坐标的定义，已知的是，因此对表(1-1)的结果进行展开，得到：

扇区号计算：

极坐标形式的磁矢量是给定了目标磁矢量角度的，因此根据角度数值可以直接判别出磁矢量落在了哪个扇区，而笛卡尔坐标系形式的磁矢量只有给定的转子角度和d、q轴数值以及推导得出的x、y轴数值，并不能直接判断出落在了哪个扇区。

第一个想法就是参考编程常见的atan2(y,x)函数，直接根据得出的角度判断落在了哪个扇区。但是我们可以进行优化，不必计算atan这个耗时操作。

先对各个扇区现有参数进行整理：

仔细看上表数据，我们发现可以通过一个一个的条件逐渐将6个扇区分开，条件分叉后实际上形成了以下这棵二叉树：

可以看到每个叶子节点的路径总值都不一样，因此可以据此分类，形成表达式即为：

设，

令，有如下映射关系：

至此，扇区号计算完成，没有用到耗时的atan函数，甚至连浮点数除法都没有用到。

桥臂pwm：

桥臂pwm我们已经在笛卡尔坐标形式的磁矢量中计算过了，由于笛卡尔坐标系下的磁矢量不给定强度，将式(1-2)去掉强度即为此处的桥臂pwm表达式。

纯c语言代码验证：

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <stdbool.h>

#define PI 3.14159265358979323846

#define SQRT3 1.73205080756887729353

#define deg_to_rad(a) (PI * (a) / 180)

typedef struct duty

{

  float d_u;

  float d_v;

  float d_w;

} duty_t;



/**

 * @brief 笛卡尔坐标系下的svpwm

 *

 * @param phi 转子角度

 * @param d d轴强度单位比例

 * @param q q轴强度单位比例

 * @return duty_t 三相桥臂占空比

 */

duty_t svpwm(float phi, float d, float q)

{

  const float rad60 = deg_to_rad(60);

  const int v[6][3] = {{1, 0, 0}, {1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 1, 1}, {0, 0, 1}, {1, 0, 1}};

  const int K_to_sector[] = {4, 6, 5, 5, 3, 1, 2, 2};

  float cos_phi = cosf(phi);

  float sin_phi = sinf(phi);

  float alpha = cos_phi * d - sin_phi * q;

  float beta = sin_phi * d + cos_phi * q;



  bool A = beta > 0;

  bool B = fabs(beta) > SQRT3 * fabs(alpha);

  bool C = alpha > 0;



  int K = 4 * A + 2 * B + C;

  int sector = K_to_sector[K];



  float t_m = sin(sector * rad60) * alpha - cos(sector * rad60) * beta;

  float t_n = beta * cos(sector * rad60 - rad60) - alpha * sin(sector * rad60 - rad60);

  float t_0 = 1 - t_m - t_n;



  duty_t duty;

  duty.d_u = t_m * v[sector - 1][0] + t_n * v[sector % 6][0] + t_0 / 2;

  duty.d_v = t_m * v[sector - 1][1] + t_n * v[sector % 6][1] + t_0 / 2;

  duty.d_w = t_m * v[sector - 1][2] + t_n * v[sector % 6][2] + t_0 / 2;

  return duty;

}



int main()

{

  for (float phi = 0; phi < 360; phi += 10)

  {

    duty_t duty = svpwm(deg_to_rad(phi), 0, 1);

    printf("%f,%f,%f,\r\n", duty.d_u, duty.d_v, duty.d_w);

  }

  return 0;

}

可以看到与极坐标系的计算结果是一样的：

结束

从代码上可以看到，极坐标形式的svpwm计算量更小。如果后续只考虑电机开环控制，可选择极坐标形式的svpwm；如果后续考虑更高级的电机控制，需要将磁矢量解耦到转子的直轴（直向）和交轴（切向）。

经过本节的推导，我们得到了磁矢量的生成函数，也就是说我们可以随意控制电机转子的受力了，接下来就有能力对电机进行角度（位置）、速度、力矩控制了。