弹性力学 | 清华大学·冯西桥教授主讲（共60课时）

沈曦大up主

编辑于 2025年03月27日 18:20

绪论-1：

1.连续介质力学基本概念：连续介质力学建立在对真实结构的一种等效假设上。材料真实的微观结构由分子原子组成，连续介质力学则将材料看成均匀连续的。

2.连续介质力学的合理性：真实材料的应力，应变，本构关系，能量都和连续介质等效，来保证这种假设是合理的。不同的材料，有不同的物体特征，所以会被等效成不同的连续介质。

3.弹性变形：受力时的变形和卸载时的变形是对称的。即力-位移曲线的形状是一样的，不一定是直线(胡克定律)。

非弹性变形：哪怕力卸完之后，回到了原始状态，但只要卸力过程中力-位移曲线不一致就不是弹性变形，当然如果没回到原始状态，就更不是了。

其实很容易理解，胡克定律F=kx，F是力，x是位移。要满足胡克定律，那么就知道任何时候，不管实在加力过程还是在卸力过程，只要位移相同，力就会相同，那么加力和卸力时的力-位移曲线肯定是一样的。不过弹性材料的力-位移曲线本身不一定非得是胡克定律那样是线性的，只要加载力和卸载力过程中力-位移曲线可以重合就行。

弹性从能量角度描述：

弹性等价定义：经历了加载、卸载力一个周期之后，物体能量没有变化。

弹性等价定义：这个我暂时没概念。存在关于应变的函数应变能，使得应变能对应变求导是应力，那么材料是弹性的。或者，存在关于应力的函数应变余能，使得应变余能对应力求导是应变，那么材料是弹性的。

绪论-2：

课如其名，绪论，浮光掠影地讲了一下框架，没有怎么展开，功利角度来看，可以直接跳过。要写引言的话，倒是可以听下，哈哈。

杨氏模量和泊松比是看文章经常会遇到的概念，之前一直没搞懂，本来指望看这个力学的课老师能讲的，但老师提一下就过了，问了deepseek补充如下

1.杨氏模量(Young's Modulus)：应力与应变的比值，类似胡克定律的k。

2.泊松比：受力后横向应变和纵向应变的比值，加个负号。

2.1横向、纵向不是平时的水平、竖直方向。力学分析中约定俗成，横向就是和力垂直的方向，纵向是和力平行的方向。

2.2横向应变是横向收缩长度和原始横向长度的比值；纵向应变是纵向伸长长度和原始纵向长度的比值。注意强调了收缩和伸长，即规定了正方向。

2.3加负号是因为受力后，往往受力方向(纵向)材料被拉伸，但垂直于受力方向(横向)的材料就会相应收缩，加个负号，以保证是泊松比正数。但也有特殊材料泊松比为负，即受力后，垂直受力的方向(横向)也变大了。

2.4泊松比可以描述材料体积变化，材料是否可压缩。注意：泊松比为0是很能压缩的意思，正常情况下，纵向如果被拉伸，横向会收缩，那么体积是三个方向的乘积，所以纵向对体积的膨胀增益，会被横向的压缩抵消掉一部分。而泊松比为零，说明横向几乎无变化，又纵向受力变化，所以体积随纵向的变化没有横向抵消，相对变化很大。

2.5泊松比为0.5才是不可压缩的(水)。0.5可用体积应变为0推出：泊松比为0.5，y方向应变为-0.5x方向应变，z方向应变为-0.5x方向应变，而体积应变可近似看作x方向应变，y方向应变，z方向应变之和(体积公式算体积，即三个方向的乘积；又各方向的应变远小于1，可去掉高阶项)。

3.格林证明了物体的独立弹性常数最多有21个。这也能证？通过矩阵，可以用6x6的对称矩阵表示弹性，一共有21个独立常数。但怎么就是6x6对称矩阵的？

4.圣维南原理：作用在物体表面某局部区域的力用等效的静力代替时，这种替代仅会影响该区域附近的应力分布，原离该区域则可忽略不计。简化后的影响范围：影响按平方或其他指数衰减。

这些人在科学史上有名有姓，好厉害啊！！！

我也能留个就好了，yxz方法，哈哈哈

张量初步-1

1.张量的定义：不随坐标系的改变而改变的量，同个实体在不同坐标系下的坐标，可以通过某种规则相互转换。好抽象的定义。都是客观实在的东西了，当然不会因为某种人为虚拟定义的坐标系而变化。非张量例子：张量初步-3的第四点。

2.爱因斯坦求和：求和的各乘积项中有指标重复两次，则可以使用爱因斯坦求和的约定简化求和的记法，即sum_{i=1}^{n}x_i*y_i等价记为x_i*y_i。注意每个乘积中x下标和y下标是一样的，没有交叉项。

2.1 向量X 点乘向量Y=x_i*y_i=y_i*x_i=向量Y 点乘向量X

2.2 指标不受具体字母的限制，即x_i*y_i=x_k*y_k都是一个意思。

3.对指标的约定：拉丁指标：i,j,k...表示三维坐标；希腊指标：alpha,beta,gamma...表示二维指标。

张量初步-2

1.张量记法：黑体，手写不容易写黑体就在字母下加一个波浪；分量记法：字母(黑体或加下波浪)_{ij}，注意表示的不是张量的ij分量，而是张量本身。如果要表示分量，可以普通体字母；分解式记法：用基矢的并矢展开写的形式。

2.爱因斯坦求和补充

2.1 张量有多个指标，如果遇到各乘积项中有重复指标的时候，也可以和矢量一样收起来，表求和。

2.2 各乘积项中只出现一次指标，叫自由指标。自由指标可以同时换名，注意同时。自由指标讲多个方程缩写成一个方程。

2.3 爱因斯坦求和表示的dx_i*dx_i不等于(dx_i)^2，(dx_i)^2看起来是个自由指标。爱因斯坦求和，得是几项带有同一指标的东西相乘，最后简化得到的是一个乘积项的通项表达公式。虽然平方也是相乘。。。

2.4 多重求和也可以用爱因斯坦求和表示，比如，a_{ij}*x_i*x_j

2.5 指标在同一乘积项中只能出现两次，比如通项是a_i*b_i*c_i，指标i出现了三次就不能用爱因斯坦求和，需要用sum。

3.Kronecker delta：delta_{ij}=1，i=j；delta_{ij}=0，i不等于j；delta_{ij}=delta_{ji}。通常Kronecker符号出现可以降维。

4.排列符号，也称置换符号(Levi-Civita 符号)：e_{rst}=1/2(r-s)(s-t)(t-r)，r,s,t分别都可取1，2，3.

4.1正序排列时，e_{rst}=1；逆序排列时，e_{rst}=-1；r,s,t中有两个及以上指标相同时，e_{rst}=0。

正序排列指123以及轮流换位得到的231，312。

逆序排列指321以及轮流换位得到的213，132。

4.2 置换符号是非张量的例子。

张量初步-3

1.注意delta_{jk}*delta_{kj}=delta_{jj}=3，jj是爱因斯坦求和，j可取123。

2.向量的基本运算

2.1 点乘 a·b = |a|*|b|*cos(theta)

点乘可用Kronecker符号表示：

a·b = a_{I}b_{j}delta_{ij}。

2.2 叉乘 axb是个向量，其大小是 |a|*|b|*sin(theta)；方向是右手法则规定的方向：先四指指尖指向a的方向，然后朝着b握拳，大拇指所指的方向。所以叉乘不可交换顺序，虽然交换后大小一样，但方向会不一样。

叉乘的方向和a,b的方向垂直。所以有

(axb)·a=(axb)·b=0。

叉乘可以用排序符号表示：

axb = e_{ijk}a_{j}b_{k}e_{~}

2.3 混合积 [a,b,c] = (axb)·c = a·(bxc)

混合指叉乘和点乘的混合，注意三个向量的不变，点乘和叉乘的顺序可以变。
物理意义是a,b,c三个向量构成的平行六面体的体积。
[a,b,c] = -[a,c,b] = -[b,a,c]。这是显然的因为交换顺序后叉乘方向变了。

3.三阶行列式可以用排序符号表示：

e_{ijk} a_{i1}b_{j2}c_{k3}=e_{ijk} a_{1i}b_{2j}c_{3k}，

更一般地，若行、列换了顺序，只需多乘一个按现在顺序为下标的顺序符号。弹幕不是我发的，哈哈。

4.方程数

4.0 未缩并时的方程数

各指标独立，都可从1,2,3里任意取数，一个指标三种情况，所以e_{ijk}e_{rst}可以代表3^6个方程。

4.1 一个指标缩并的方程数

e_{ijk}e_{ist}看起来有3^5个方程，实际上i那一项不止两个不同排序符号的i被同步，还会被爱因斯坦求和，i所代表的变化就成了标量，所以是实际上是3^4个方程。

4.2 两个指标缩并的方程数

e_{ijk}e_{ijt}，光看指标有3^4个方程，i,j两项被爱因斯坦求和，所以是实际上是3^2个方程。

4.3 三个指标缩并的方程数

e_{ijk}e_{ijt}，光看有3^3个方程，i,j,k三项被爱因斯坦求和，所以是实际上是1个方程。

张量初步-4

1.缩并的结果

e-delta恒等式的一般形式

1.1一个指标缩并的结果

证明：代入定义

注意到e_{ijk}只有i,j,k互不相同时为1，所以delta_{ji}，delta_{ki}为0，所以行列式按第一列展开只剩下第一项的余子式。qed

1.2 两个指标缩并的结果

证明：

更正步骤2第二个式子，有处笔误应该是delta_{jk}*delta_{kj}=delta_{jj}=3。qed

1.3 三个指标缩并的结果

证明：注意到e_{ijk}只有i,j,k互不相同时为1,所以共有对1,2,3的六种排序求和，每种都是1，求和为6。qed

2.张量的另一个反例，这个反例还非常常见。

定义一个向量，空间里有个点P，连接坐标系的原点指向P形成一个向量。那么这个向量和坐标系原点的有关，所以肯定会随着坐标系变化，只要坐标系的原点变了，那么再表示出的向量就不是原坐标系的那个向量了。
但一般情况，我们还是默认这个是向量，即一阶张量。

3.坐标线的定义

一个坐标任意变化，另外两个坐标不变，说明这个变化的这个和另外两个无关，即基的独立性。
过某点的三条坐标线永远相交，不会相切或重复。
不同点处的相同分量的坐标线可能不再平行。

4.基矢量的定义

这个我有点感觉了，再等等熟悉下。

这样定义的基矢不一定单位，不一定正交，不一定是距离。

5.坐标转换矩阵

空间中的某一点，表达一：新坐标系下的表达；表达二：通过原坐标系的向量去表达(引入了原坐标系)。然后讲表达二投影到新坐标系上，由于表达二也是表示的同一点，而且现在也在新坐标系里，一个坐标系对同一点的表达肯定是唯一的，所以投影后和表达一是相等的。若两坐标系原点是重合的，就可以得到转换矩阵。
其实就是把基矢用要转化的坐标系表达了，那么空间里任意其他向量自然也就表达了。

6.张量分量转换规律

张量要在不同坐标系下表示同一个东西，所以一定要满足某种关系的。

7.张量方程

8.最后胡克定律坐标变换模糊度陡然上升，下次再看。

张量初步-5

1.张量分量坐标变换

主要思想，旧坐标系的基投影到新坐标系上，都用新坐标系表达。新旧不特指，只是为了区分一个和另一个，反过来的时候也可以把原来的新看成旧，就看成新。

一般形式

系数beta的下标默认新的在前面，本来beta意思就是单位基的投影，单位基长度都是1，所以投影就是两个基的角度的余弦，所以下标交换顺序也是相等的。

两个指标相同的时候

相当于只有对角项，要注意，新的对角项，很有可能不是由原来的对角项组成的，而是九项一起组成的，所以不能简单的将一般情况里面的符号改成一样的，注意等式右边出现的是i,j不是i,i。

2.Kronecker符号和排序符号的坐标变换

注意Kronecker符号和排序符号只有在笛卡尔坐标系下才能看作张量，所以这部分讨论是建立在新旧坐标系都是笛卡尔坐标系的前提下，既然也是张量，那么跟一般规律是一样的。

3.张量运算法则

3.1张量相等

如果张量的每一个分量都相等，那么张量相等。
张量不随坐标系的改变而改变，所以只要在某个坐标系里相等，那么在另一个坐标系里，也一定是相等的。

3.2 张量的和差

张量每一项和差

3.3 张量的数乘

张量每一项数乘

3.3 张量并积(tensor product)也称张量积。

两个张量的每一项相乘。过程中对张量的阶数没有要求，每一项乘就行了，所以和矩阵乘法不同，不同阶的张量也可以做并积，结果也是张量，且其阶数是两个张量阶数之和。
注意不可交换顺序，顺序交换后非对角线上的元素变了，如下图

3.4 缩并(contraction)

注意张量 T_{ijk} e_i e_j e_k 并不等价于(a_i e_i) (b_j e_j) (c_k e_k)，T_{ijk}是一个整体，不一定能分解成三个向量的并矢。

对第一个分量和第二个分量做缩并(点积)

T_{ijk} e_i·e_j e_k = T_{ijk} delta_{ij} e_k = T_{iik} e_k = R_k e_k

其中向量R_k = T_{iik} = [sum_{i=1}^{3}Tii1, sum_{i=1}^{3}Tii2, sum_{i=1}^{3}Tii3]。

第一个分量和第三个分量缩并，第三个分量和第二个分量缩并同理。显然不同分量的结果是不一样的。

3.5 张量的内积

两个张量做内积，就是两个张量先做并积再任选两个基缩并。
张量内积结果还是内积，其阶数是原来两个张量阶数之和(并积)减2(缩并)。

3.6 张量的点积

特殊的内积，规定了是两个张量放在一起后，相邻的两个基做缩并。所以显然不能交换位置，交换之后相邻的基不一样了。

3.7 张量的双点积

3.7.1 并双点积

相邻的两个基同时缩并。“同时”是强调，不是做一次点积之后再做一次缩并，是前面的和前面的缩并，后面的和后面的缩并，如下图

3.7.2 串双点积

做两次点积，就是是做一次点积之后再做一次缩并。

其实符号也挺有意思，串双点积，是一前一后的··，对应做一次点积之后再做一次；并双点积：点积符号是同时出现的，有同时的感觉。

3.8 并矢

并矢也称张量积。
并矢的矢量不能换顺序。考虑二阶的例子，二阶向量的并矢，不一定是对称矩阵，如果交换向量做并矢时的位置，相当于对矩阵转置，而非对称矩阵，转置之后矩阵不一样。
？？？？他说可以换系数，基不换就行？？？？基不换换系数，那不就对不上了吗？？？？答：这里他说的换系数a_ib_jc_k几个乘积因子的顺序，比如b_ja_ic_k乘出来还是同一个数都是T_{ijk}。这个和T_{ijk}换i,j,k顺序不一样。
？？？？同时换基和系数，可以理解，但系数可以换，基和系数同时换了之后再换系数那不就相当于换基了？？？？答：同上。

3.9 商规则

一个量和任意一个n阶张量T做内积后得到的还是张量R，那么这个量一定是张量。且阶数为T的阶数n加上R的阶数。
反之，一个量可以分成两个张量的并积或点积，那么它一定是张量。即张量的并积或点积一定是张量。

这里没有要求任意性，是因为，已经分离成两个张量了，张量是独立于坐标系的，那么这个乘积的量也独立于坐标系，那么它是张量。

张量初步-6

1.零张量

所有分量都是零

2.单位张量

任何张量和单位张量的点积都是张量本身。左点积和右点积都一样。
笛卡尔坐标系中二阶单位张量 I_{ij} = delta_{ij}
笛卡尔坐标系中，做了坐标变换，也是I_{ij} = delta_{ij}

3.球形张量

单位向量的数乘得到的就是球型张量，即对角线上全是相等的非零元素，非对角线全是零。

4.转置张量

T = T_{ij}e_i e_j 的转置张量为T_{ji}e_i e_j = T_{ij}e_j e_i

注意其实这里的下标i,j并没有实际的指代，都是可以从1,2,3取值，所以单看e_i e_j 和e_j e_i，完全是一样的。当结合前面的系数才有先后的意义。看起来T_{ji}e_i e_j变了系数，T_{ij}e_j e_i变了基，但其实按1,2,3展开后都是一样的。

转置张量跟矩阵一样也用上标T来表示转置。

5.对称张量

转置后和原来相等的张量。
应力，应变，弹性张量，都是对称的。

6.反对称张量

转置后等于负的原来张量。
转置对角线不变，所以反对称张量对角线只能是0。
三维二阶反对称张量独立分量有3个。对角线为零；上三角和下三角相反，所以确定一个就全部确定了。
任意二阶张量可以分解为正对成张量与反对称张量之和。独立分量个数也能对得上，T9个，S6个，A3个。

7.偏斜张量

对角线之和为0的对称张量。
任意二阶张量可以分解为球形张量和偏斜张量之和。这里的球形张量的对角线上的值就是原二阶张量对角线的平均值。偏斜张量就是原张量减这里的球形张量。

8.置换张量

笛卡尔坐标系中，置换张量的形式为

e = e_{rst}e_r e_s e_t

9.各向同性张量

所有分量不因坐标正交变换(旋转或反射)而变换的张量。
单位张量，置换张量，球形张量，标量都是各项同性张量。

10.主方向和主分量

特征方程：lamda^3 - I_1lamda^2 + I_2lamda + lamda = 0

I_1 迹，对角线之和，T_{ii}。
I_2 二阶主子式之和，1/2(T_{ii}T_{jj} - T_{ij}T_{ji}) 。
I_3 行列式，可以记成e_{ijk}T_{1i}T_{2j}T_{3k}。
特征方程的特征根是张量T的主分量，T是实对称张量时，会有三个实特征根。对应向量的单位向量为主方向。
一个面上的力，可以不是垂直这个面的，摩擦力就和这个面平行。

11.笛卡尔张量的微积分

对坐标求导的三种表达形式
对多个坐标求导，求导顺序可随意交换，注意这对应的是逗号后面的可以换，逗号前面对称张量才能换。

T_{ij,m}是一个三阶张量，即求导再配上基矢将原本的二阶张量变成了三阶张量，求导可以提高一阶。既然是三阶张量，则可以爱因斯坦求和，以及坐标变换关系，如下图

12.梯度，旋度，散度

先熟悉一下，后面会细讲

12.1梯度

梯度和求导相关，张量会提高一阶
标量左右梯度相同，其他高阶张量左梯度和右梯度是不一样的。

12.2 散度

散度和求导(升一阶)点积(降两阶)相关，张量会降低一阶。
矢量左右散度相同，其他高阶张量左右散度不同。

12.3 旋度

旋度就是梯度后相邻基矢量叉积。
梯度升一阶，叉积降一阶，所以旋度张量阶数不变。
矢量左旋度和右旋度大小相等，方向相反，其他高阶张量左右旋度不同。

应力-1

1.外力

分为体力和面力

1.1体力

作用在物质每一点上的力，即作用在物体的整个体积上。例如重力，电磁力。

1.2面力

作用在物体表面的力。例如，接触力

2.内力

外力作用下，物体内部各部分之间的的力。

3.应力

应力和内力的区别？？？
内力是物体内部某一截面上所有应力的合力，应力是物体内部某一点处单位面积上的内力，描述内力的分布密度。
应力的第一个下标代表应力所在面的法向，第二个下标代表这个应力的方向。
第一个下标和第二个下标相等时，代表作用在这个面的力，叫正应力；第一个下标和第二个下标不相等时，叫剪应力。也称切应力、剪切应力。
可以严格证明，应力是个二阶张量。
名义应力，变形前面积算的应力，也称工程应力，小变形情况适用。
真实应力：变形后面积的应力，也称Cauchy应力，大变形情况适用。
线弹性小变形则名义应力和真实应力差不多。

应力-2

面元矢量，大小是这个面的面积，方向是这个面的法向。

1.Cauchy公式

任意点上任意方向的的应力，可以用方向单位适量，点乘笛卡尔基的应力得到。

注意点乘的顺序，应力张量是对称张量，所以前面后面都一样。

sigma_{(mu)1}是斜面应力sigma_{(mu)}投影到x轴方向的应力。sigma_{(mu)1}又可以分解为斜面投影到以x轴为法向的面的应力的x方向的分量+斜面投影到以y轴为法向的面的应力的x方向的分量+斜面投影到以z轴为法向的面的应力的x方向的分量，即四面体体除斜面的三个面的x方向。

2.斜面上的应力

第四个等号是将斜面的应力，用应力张量的几个应力表达了。

斜面方向n_{sigma}的三个分量，分别是sigma_{mu}和三个坐标轴夹角的余弦。

3.斜面正应力、剪切应力

斜面正应力就是斜面法向上的应力，所以用斜面应力往法向投影得到，剪切应力就是平行面的应力。

剪切应力用应力张量和面力矢量表示，如下图

4.Cauchy公式的应用

在物体表面，Cauchy公式依然成立。

外表面的法向一般用l,m,n表示三个分量；应力张量的对角线，即正应力用sigma，非对角线，即剪切应力用tau。

应力-3

主平面：只有正应力，没有切应力的微分面。

应力主轴：主平面的法线。也称应力主方向。

主应力：主平面的正应力。

学习进入倦怠期了，不想学了，加油，坚持住啊，不要半途而废。

应力-4

1.主轴：主方向所在直线

2.主应力迹线：和主方向相切的曲线

3.主坐标系：以主方向为坐标轴的坐标系。此坐标系下应力张量是对角阵

4.主不变量：特征方程的三个系数，在任意坐标系下是不变的。

I1 = 应力张量的迹

I2 = 应力张量二阶主子式之和(按对角线展开的二阶矩阵的行列式)

I3 = 应力张量行列式

5.应力偏量：应力张量去掉球形张量后剩下对称矩阵部分。

球形张量是单位矩阵的数乘，乘的常数是应力张量的迹的平均值，所以偏斜应力张量的迹是0。

也叫偏斜应力，偏斜应力张量。

6.最大切应力（与最大变形有关）：切应力(应力偏量)可以为零，主应力不会为0。

用方向应力大小减去主应力大小得到切应力。

方向应力sigma_mu：方向矢量·应力张量

方向应力大小sigma_mu^2：(方向矢量·应力张量)·(方向矢量·应力张量)，即sigma_i^2 mu_i^2

主应力大小sigma_n：方向矢量·应力张量·方向矢量，即sigma_i mu_i^2

剪切应力大小tau^2：方向应力大小-主应力大小，即sigma_mu^2-sigma_n^2=sigma_i^2 mu_i^2-(sigma_i mu_i^2)^2

用拉格朗日乘子法计算最大切应力，约束条件是方向矢量是单位矢量，即f = v_1^2+v_2^2+v_3^2-1=0

应力-5

1.注意：

考虑应力点的应力不需要考虑应力在平行的两个面上的变化，从平衡的角度来说，这边是正，那边是负就行。

考虑应力场的时候，需要考虑变化。

2.应力静态平衡方程推导

2.1应力分量是某个面上的应力分量，所以要乘以该面的面积，dxdy是面积；f是体力，作用在体积上，所以要乘以体积，dxdydz是体积。

2.2另一种证明：用高斯公式证明得到实体符号表示，三种表示是等价的。

由体积的任意性，积分可以去掉。

3.应力静态平衡方程

x,y,z每个方向力都是平衡的，所以每个方向的在每一面上的力加上这个方向的体力，应该为0。

这是化简后的样子，看起来只有三个面，其实是六个面，泰勒展开不含导数的那项被平行面上的应力方向是相反的抵消掉了。

静态就是外力为0，速度保持不变。

3.应力动态方程

由静态方程导出，匀速动可看成静态，动态指在动而且是变速动，所以有加速度，所以有外力，所以右端加上外力项，就得到了动态方程。

外力F=ma，m=密度*体积。注意，静态平衡方程把体积约掉了，所以这里也需要约掉体积，就剩下外力项=密度*加速度。加速度是位移u对时间t的二阶导。

4.力矩平衡得出剪应力互等定理(角动量守恒定律)

也就是解释了为什么应力张量是对称的。

4.1补充

力矩和角动量的关系：力矩类似加速度，有力矩，角动量才会改变。

力矩不是力，是用于衡量这个力对物体旋转能产生多大影响的度量。
力矩的值等于力乘以力臂，力臂指这个力到物体旋转轴的距离。乘以力臂也是很自然的，根据生活经验和阿基米德原理，离支点，即旋转轴越远，同样的力产生的效果越大。

4.2推导过程

和旋转轴平行的力，不会对力矩产生影响，力矩要考虑的就只是能让它转的力。
但这里为什么体积力的x方向，y方向对力矩没有影响？

这里面有应力分量的微分是高阶项，对结果无甚影响，所以直接省掉了应力分量的微分，绝大多数情况是可以的，但也有特殊材料不是，所以，应力张量是对称的，并不是一个普适结论，大多数情况下默认，可得

4.3应力分量有九个，应力平衡方程只能提供三个方程，x,y,z三个方向各一个；力矩平衡得到应变张量矩阵是对称的，相当于也提供了三个；还剩三个。光靠这些不能得到材料的应力张量，其实是很合理的，因为这些都是普适的，如果这样就把应力确定了，就说明了应力和材料无关，所以需要再加上和材料本身对应的参数，如本构关系，形变。

应力-6

柱坐标系的平衡方程

球坐标系的平衡方程

这两种情况下应力张量也是对称的，实对称矩阵的特征根永远是实数。

特称方程的系数，I1(迹)，I2(按对角线展开，二阶主子式之和)，I3(行列式)永远是不变的，跟坐标轴没关系，那么得到的解，即主应力肯定也是不变的，跟坐标轴没关系。主方向也是不变的，跟坐标轴没关系，但它不一定是唯一的。

应力平衡：应力平衡方程的推导就是六个面加上体积力在同一个方向的应力分量加起来是相等的，得到三个方程。进而得到应力张量。进而有科西应力公式。

力矩平衡：角动量守恒得到应力张量是对称的，过程中省掉了高阶小，但不一定总能省。

除了上述两个还需要一些关于材料的性质才能把某种材料的应力描述清楚。

应变-1：小形变的张量。

1.位移

位移包括变形和刚体位移，刚体位移包括转动和平移，平移又叫平动。

2.应变协调性

位移在空间有三阶连续可导，这是个很强的假设了。保证了小位移变形后平行还是平行，变形前曲线变形后还是曲线不会是折线，材料不断裂。

3.应变

原来的微元一定是个立方体，本来有12条线，描述它的变化，需要12条线的长度和相互形成的角度，但是小应变假设了平行线都是平行的，加上原来的微元一定是个立方体，所以只需要关注和两两相互正交的三条线的角度和长度变化即可，不妨看成和坐标轴重合的三条线。
小应变情况下，应变就是位移场的空间梯度。正应变：x方向的变化对x求梯度，对应的；切应变：x方向变化对y求梯度，y方向变化对x求梯度，交叉的。