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5.28

主要是，闭区间函数存在的性质。

1有界

2最值

3零点存在定理

重点：

可以用来研究根的个数

3次多项式最多3个根。

n次多项式最多n个根

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5.26 ：等价，高阶无穷小。

重点在于等价无穷小：

注意里面的是 任意的 a >0, 幂函数是lnx 的高阶，速率快。跑的快。

注意：这里的大O 表示有界量。

这几个量。

上面是无穷小量阶的比较。

下面是无穷大量阶的比较。

注意这几个无穷大量的比较。

令t=lnx,用之前那个结论就能证了

这道题有点意思：

有意思。

有意思：变量代换。

这里的变化是不同的，本意还是化成和上面一样的形式。

还是 重要极限：

这个极限不错。

层层递进。

直击心灵

妙妙蛙

趋向0 和 ∞

就是看 谁起作用。

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5.25：无穷小量和无穷大量

函数的无穷小量，一定要讲x 的趋向。

讲函数是无穷小量的时候，必须讲x的趋向和变化。

根据阶来判断 那个 到0 快。除以以下。

tanx 提出来 sinx /cosx 化简。

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幂函数: 重点。重点。重点。5.25.

连续，重要极限：在没有无穷小的情况下的解决方案。

变化速率问题。增长减小的问题的彻底解决。

什么范围内连续。

如果是负的有理数，p为偶数，那么把 0 的闭区间改为开区间。

基本初等函数：

y=c, 幂函数，三角函数，反三角函数。

指数函数，对数函数

初等函数: 基本初等函数有限次四则运算,复合运算。

一切初等函数在它的定义域上连续。

重要极限:

用这个理解两个重要极限有意思：

应用题目：

放射比例系数就是单位时间内放射掉的M

主要是：反射比例系数

极限结合应用题：

然后得出这么一个方程。如果是微分方程的化，需要解极限。

这个是衰减，比如钱的增长的话也是指数函数，在自然界细菌的繁衍，也是这个指数函数。正负问题。

关于增长的都是一个指数问题。

增长速率和指数成正比。

5.25 ：重点。 重点。

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迪利克雷：极限不存在，不连续。

黎曼函数: 有理数极限为0.

区间(a,b) 上的 单调函数的不连续必为第一类点。（跳跃间断点）

单调函数不连续点，一定是跳跃间断点

f，g 单调增加 函数

f-g 为 有界变差函数。

反函数：

定理：反函数连续性定理。

a>1 单调增加。 区分不开的话，找个值代入即可。

0<a<1 单调减小。

复合函数的连续性质。

f（u） 在 u。点连续，才能带入。

双曲正弦，双曲余弦。

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5.4：函数极限定义的扩充。

根据 自变量的6种变化集合函数的4种变化。共24种，真是服了，数学系都讲那么细，那些讲高等数学的老师真恶心。

极限的保序性，夹逼性，要排除 ∞ 因为包含了两个

而极限的四则运算要排除 未定型

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5.3：

函数极限和数列极限的关系。

否定命题的分析表述：

否定命题的分析表述：

heinie 定理：

f(x) 在 x !=x。的地收敛于A。

那么

对任意的Xn lim Xn = X。 {f(Xn)}收敛于A

上面海涅定理：

往往用来证明函数在一点没有极限。

Sin（1/x) x=0 极限不存在

Xn =1/nΠ ，{Sin(1/Xn)} 收敛于0

Xn = 1/(2nΠ+Π/2) ，{Sin(1/Xn)} 收敛于1

如fx 在 x。收敛于A 那么对任意的Xn 都收敛于A

命题的否定：只否定结论。

否定命题：条件，结论都否定。

单侧极限：左右极限

原先探究极限是在邻域内，

现在，探究某个点的极限，可能某一侧没有定义，所以探究单侧极限。

hainie+ 单侧极限

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5.1：函数极限：

线和弧的长度之比 当x区域0的时候 y = 1

函数极限（2）：

两个限制条件。

这个 eplison 可以是 eplison/2 ,也可以是 2 eplison，因为他是任意的。

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上面讲函数极限的定义，

下面讲函数极限的性质，

1:唯一性质。：证明是三角不等式

|M±N|≤|M|+|N|，M=f(x)-A，N=f(x)-B，|M-N|=|-A+B|=|B-A|=|A-B|

基本不等式证明。

唯一性质。

2：局部保序性。eplison 取值 A 和B的中点。

极限值 A>B, 那么函数就有了顺序。

推论1

保序性的推论：

有一年的考研真题，考的就是这个。

推论2：

关于局部保序性的逆命题 。

性质3：局部有界性质：

性质4：夹逼性定理。

卧槽，用前面两个条件，把f(x)的边界确定出来

正弦定理s=1/2 absinc

夹逼定理。

数列极限和函数极限的关系：

函数极限的四则运算：

线性，乘法，除法。

线性：三角不等式

乘法：用配凑。

除法：用通分

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柯西收敛准则：

数列收敛的充分必要条件：数列是基本数列。

下面问题探讨，数列收敛不收敛和基本数列有什么关系

满足下面这种条件是基本数列。

三角不等式：

压缩性条件。

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4.27：

实数系的基本 定理 ：

第一个定理：确界存在定理（实数系连续性）

这五个定理是等价的，从任何一个定理出发都可以证明任何四个。

实数系有完备性，实数的基本数列一定有极限。

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4.6

p级数，

p>1 收敛

p<=1 发散

p =1 是一个正无穷大量。

证明单调，然后 n+1 减掉 n 然后在利用前面的重要极限的结果，来说明单调。有意思。把已知的东西，来解决未知的东西。

相差0,577215 跑到无穷大相差的距离。

后面可看作等价。

漂亮

两个数列的极限都是 ln2

交错

有点意思

（a1+b1)/3 ,然后 写出来 a1,b1 两端分别加上等分（a1+b1)/3 ，就确定了中间那一段的左右端点。

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3.11：

因为看不出极限是什么，所以用单调有界。

因为 极限不知道，所以用单调有界，

考虑xn 这个递推公式的 正负性，

为了保证有界。

判断单调性。因为单调有界收敛。同号

然后求极限。求出a，因为极限已经存在了，所以求a。

单调有界2：

有界，单调，然后求极限。

直接减掉的，考虑的单调性

stoz 严格单调增加的无穷大量

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3.5日:

yn>0 几何上 与 0 有一段距离

极限存在，收敛，收敛，有界。

所以下面 yn 提出了当系数。

stolz 定理：

1，先证明 条件极限为0

2，后构造xn 一撇 = xn - ayn

然后 构造形式，已知，条件为a，

又形式构造 极限为0

显然得出，下面成立。

xn 也是严格单调增加。

条件。

所以得出下面xn 也是无穷大量。

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无穷大量。

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a>0

数列的极限是a，那么其算术平均也是a，几何平均也是a，调和也是a。

a=0.

极限的四则运算：加减乘除。

夹逼定理。

错误的原因是因为，并不是有限个确定的极限相加。

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第6章节：

有界，单调，奇偶，周期（迪利克雷没有最小T)

两个重要的不等式：

三角不等式，

平均值不等式。

以基本不等式为基础，推算出来的。

第7

有意思，数的认识

有限集，一定有最大值最小值。

注意：现在都是实数的子集。A 这个集合。

无限集，不一定有最大值最小值。

上确界，下确界。

上界不一定在S集合，最大值一定属于S集合

上确界，上届，上届集合中最小的。

下确界，下届，下届集合中最大的。

确界存在定理。

数列：正整数编号的数列。（有序，根据通项，后面的内容确定。)

以圆为背景，去逼近我们想要的内容，数列逼近，n越来越大。

数列：正整数编号， n>.... 满足 数列收敛定义，所以，我们去N 为一个 >.... 正整数。

当 n > N 的时候， 反向带回去仍然满足收敛定义。

任意 c 存在N 充要定义。

任意的c 找N ， 也就是解出来n，找个正整数。存在。

限定c， 来保证了 n> 正的数，考虑小的c

N 存在即可，没必要那么精确，因为不等式n不一定解的出来，我们只能放缩试试即可。

放缩。

把下面这个当成公式 n>1 开n方 极限为1 .

数列证明的时候。

1，如果可以解出来 n 就解方程。

2，如果解不出来方程，就 令 Xn - a 的绝对值等于 yn 。放缩。

如果带绝对值，可以用三角不等式，进行放缩。

这个地方也就说明了 那一年的考研真题。

N 没必要找最小，只需要找到就行了。

极限性质：

三角不等式

保序性：

当n充分大的时候，才可以说 a<b