随机事件及其运算

棣莫弗公式的简单应用及2019年数学一选择题第7题

例题：2015年与2017年数学一选择题第7题

茆诗松课本习题1.1第11题

n个相同的球放入k个不同盒子有多少种放法？

经典古典概率问题之鞋子配对问题

证明排列组合等式

利用古典概率的思想证明恒等式成立

一个生活中常见的概率问题

赌徒输光原理

部分试看

概率的定义及其确定方法：几何概型

部分试看

圆周上任取三点，构成锐角三角形的概率（方法一：一般方法）

圆周上任取三点，构成锐角三角形的概率（方法二：非一般方法）

部分试看

蒲丰投针

部分试看

概率的性质

条件概率：定义

条件概率的简单例题

条件概率：乘法公式

部分试看

条件概率：全概率公式

部分试看

与条件概率、全概率有关的经典题目：求连续两次成功在连

条件概率：贝叶斯公式（逆概率公式）

独立性

茆诗松习题1.5第60页第21题

信息量与熵

部分试看

【信封问题】n封信全部装错的概率，以及至少有一封信装对的概率

【信封问题】若尔当公式的应用：至少有一封信装对的概率

【信封问题】与信封有关的常见概率问题和问法

2n根草，头与头相连，尾和尾相连，最后成一个环的概率

求期望：2025高考数学一卷第14题填空题

隔板法

部分试看

例题：名校真题再现

部分试看

随机变量及其分布

随机变量的数学期望

部分试看

茆诗松《概率论与数理统计教程习题与解答》第82页第22题

部分试看

与离散型随机变量期望有关的等式证明

利用对称性求随机变量的期望

名校真题再现（南开大学）

随机变量的方差与标准差

【经典数学思维】利用概率思想证明不等式

切比雪夫不等式

马尔可夫不等式的证明

单边切比雪夫不等式的证明过程

概率不等式的证明

例题名校真题再现

一道2018年人大统计学专业课的证明题

部分试看

常用离散分布

负二项分布

泊松分布的历史与相关性质

部分试看

已知X服从泊松分布，求Y=X(X-1)(X-2)…(X-m

泊松定理：二项分布的泊松近似

经典概率题：何书元课本第192页4.29题

常用连续分布

部分试看

伽玛分布的可加性的证明过程

分布的可加性与指数分布的特殊性质

名校真题再现（2020年北京大学）

利用导函数相等的思想去证明恒等式

随机变量函数的分布

总体X服从均匀分布，求Y=X1X2•••Xn的密度函数

名校真题再现（2018年中国科学技术大学）

分布的其他特征数

Stein引理：简化正态总体高阶矩的计算

2019年复旦大学432统计学第三题

2019年12月复旦大学统计学第二题

部分试看

【经典概率题】引入随机变量极径R与极角θ求期望与方差

利用伽玛分布的特殊性质求随机变量的期望与方差

比诺梅不等式

证明概率等式P（A）=E［P（A｜X）］

最优雅的方法：微分法求概率密度函数

【经典难题】X,Y相互独立的充要条件是V服从泊松分布

X服从U（0，2π),求Y=sinX与V=sin2X的概率密度函

詹森不等式

求随机变量Y=sin(aθ）的分布函数（上集）

求随机变量Y=sin(aθ）的分布函数（下集）

矩的不唯一性

Y服从二项分布，求Y^3的期望

多维随机变量及其联合分布：二维联合分布列

2021年北京大学431金融综合第二题

多维随机变量及其联合分布：联合密度函数

多项分布、多维超几何分布的定义

多维均匀分布与二元正态分布的定义

2020年清华432统计学第一题

边际分布与随机变量的独立性：边际分布函数与边际密度函数

两个随机变量相互独立的判定

X，Y独立同分布于几何分布，证明min(X,Y)与X

2021年清华大学432统计学第二题第1小问

计算以极坐标（R，θ）为二维随机变量的联合密度函数

多项分布与多维超几何分布的定义

均匀分布与二元正态分布的定义

部分试看

2020年清华大学432统计学第一题

部分试看

经典易错题：求min(X,Y)除以max(X,Y)的分布函

2021年清华大学432统计学第二题第1小问讲解

经典题目：计算以极坐标（R，θ）为二维随机变量的联合密度函数

2016年北京大学432统计学第二题

方法一：是否存在独立同分布的X1与X2使得X1+X2服从均匀分布

方法二：是否存在独立同分布的X1与X2使得X1+X2服从均匀分布

多维随机变量函数的分布：最大值、最小值分布

离散型随机变量最大值与最小值的分布列

部分试看

变量变换法

部分试看

卷积公式的推导过程

利用增补变量法推导积与商的公式

部分试看

利用增补变量法求随机变量的密度函数

经典易错题：二维随机变量的联合密度函数

部分试看

随机变量（X，Y）在以原点为圆心的圆内服从均匀分布，求Y/X分布

重要笔记：分布的可加性与指数分布的特殊性质

茆诗松课本3.3习题第11题

2017年北京大学432统计学第一题

关于求分布函数需要注意的一些细节问题

部分试看

2016年真题第22题：分布函数的求解，分段点的确定，分布函数

部分试看

2016真题第22题：分布函数的求解与检验，分段端点的确定（新）

多维随机变量的特征数

相关系数为零不一定独立的反例

与相关系数绝对值是1的充分必要条件有关的问题

求离散型随机变量之间相关系数的经典题目

一种独道的解法：离散型随机变量之间的相关系数

多元正态分布密度函数的推导过程

2022年考研数学一第10题选择题（方法一）

2022年考研数学一第10题选择题（方法二）

2022年复旦大学432统计学第五题

在(X,Y)服从二维正态分布的情况下，求max与min的期望

离散型随机变量的条件分布

部分试看

经典离散型随机变量分布的处理方法

连续型随机变量的条件分布

条件数学期望

条件期望与重期望的性质

方差恒等式的证明过程

利用极限思想计算条件概率

与正态分布有关的条件概率分布的经典题目

与条件分布有关的经典题目：构成三角形的概率

【统计学笔记】与条件期望有关的若干个等式的证明

已知条件分布Y｜X，以及X的分布，求Y的分布与期望

【经典概率题】已知条件分布Y｜X，以及X的分布，求Y的分布与期望

部分试看

利用条件密度法求随机变量的密度函数

求联合密度函数的过程中，注意求雅可比行列式的技巧

求联合密度函数的过程中，与求雅可比行列式的技巧有关的例题

求联合密度函数的过程中，使用雅可比行列式时需要注意的细节

记U=X+Y+Z，求U的概率密度函数

记U=X+Y，V=X^2+Y^2，求U与V的联合概率密度函数

【主要是计算难度】记T=X+Y+Z，求T的概率密度函数

求与复合随机变量有关的协方差

经典题：求条件期望E（X｜X+Y），X与Y服从期望为零的正态分布

经典题目：求条件期望E（X｜X>1），且X服从指数分布

正确表达重期望的简单经典例题

依概率收敛

依概率收敛推依分布收敛的过程

依分布收敛不能推出依概率收敛的例子（新录的）

依分布收敛不能推出依概率收敛的例子

依概率收敛的经典例题

2016年清华大学432统计学第二题

2019年清华大学432统计学第一题

特征函数的性质

数学思想：特征函数的由来

利用特征函数的性质确定随机变量的极限分布

矩母函数的定义及其性质

概率母函数的定义与性质

利用概率母函数求解的经典例题

（1-x)^(-n-1)在x=0处的泰勒展开式

大数定律

茆诗松课本习题第11题：利用切比雪夫不等式证明泊松定理

茆诗松课本习题第16题：利用马尔可夫条件处理大数定律问题

退化分布时，依概率收敛等价于依分布收敛

林德伯格莱维中心极限定理

产品合格率问题

利用泊松分布的性质与中心极限定理处理一个极限问题

求渐近分布的重要方法：Delta方法

2023年上海交通大学432统计学真题之简答题第4题

2018年12月复旦大学统计学第三题

与两点分布有关的极限分布问题的处理方法

2023年上海交大432统计学真题：求随机变量序列的极限分布

【经典概率题】渐近标准差

求随机变量的特征函数的经典题目：二项分布与泊松分布混合在一起

特征函数的n次幂依旧是特征函数

特征函数的凸线性组合还是特征函数

若ψ(t)=h(t)+ig(t)为特征函数，则｜ψ(t)｜^2=

分布函数是对称的充分必要条件是它的特征函数为实值函数

总体与样本

茆诗松5.1习题解答书上第8题

经验分布函数的定义

经验分布函数的期望与方差

第k个次序统计量的密度函数的推导过程

分位数的渐近分布：茆诗松5.3课后习题第26题

【微分法求密度】利用微分法推导与次序统计量有关的联合密度

用几何的思维处理均匀分布中次序统计量的期望问题

部分试看

计算均匀分布U(0,1)的任意两个次序统计量的协方差

部分试看

2021年清华大学432统计学第二题第2问

极差T=X(n)-X(1)的分布函数推导过程

慎用极差的分布函数公式

与二项分布、贝塔分布有关的恒等式的证明

茆诗松课后习题5.3第31题

卡方分布的密度函数的推导过程

与卡方分布密度函数有关的经典题目

T分布的密度函数的推导过程

F分布的密度函数的推导过程

正态分布中样本均值与样本方差相互独立的证明过程

充分统计量与因子分解定理

完备统计量的证明（离散型）

完备统计量的证明（连续型）

利用指数族分布的性质寻找充分完备统计量

找寻充分统计量时常用的定理以及与充分次序统计量有关的常见问题

与均匀分布有关的充分统计量、完备统计量的判定

极小充分统计量

与均匀分布总体有关的极小充分统计量

辅助统计量：均匀辅助统计量与位置族辅助统计量

尺度族辅助统计量

巴苏定理（Basu定理）

茆诗松5.4习题第21题课本第21题第293页

部分试看

无偏性

部分试看

关于判断某个统计量是否为参数θ的无偏估计的经典例题

与无偏估计有关的题目

2021年北京大学432统计学专业课第八题：无偏估计，方差最小

正态分布中方差与标准差的无偏估计

有效性

求一个估计量的效率

部分试看

矩估计

关于求离散型总体参数的矩估计的简单例题

极大似然函数的意义

极大似然估计是唯一的吗？

关于求离散型总体参数的极大似然估计的经典例题

求均匀分布U（-θ,θ）的总体参数θ的极大似然估计

利用绝对值几何意义处理极大似然估计的问题

EM算法的原理

部分试看

均方误差

2017年清华大学432统计学第三题

费歇尔信息量

关于求非常见离散型分布的费歇尔信息量以及参数θ的无偏估计

离散型分布的费歇尔信息量以及参数θ的无偏估计的方差的C-R下界

证明一个估计量是有效估计或渐近有效估计的一般操作流程

一致最小方差无偏估计在几乎处处的条件下唯一性的证明

求总体未知参数的一致最小方差无偏估计的一般方法：零无偏估

部分试看

求总体参数的一致最小方差无偏估计（UMVUE）的一般方法

茆诗松课后习题第11题

2016年北京大学432统计学第八题

求指数分布参数λ的无偏估计、一致最小无偏估计

在二项分布X～B(n,p)中，找寻p^m的一致最小方差无偏估计

2022年中国科学技术大学统计学学硕专业课第六题

贝叶斯估计

求总体参数的共轭先验分布的一般方法及定理

求贝叶斯区间估计的经典例题

茆诗松课本习题6.6第16题

茆诗松课本习题6.6第17题：求参数的置信区间

构造总体未知参数的置信区间

构造置信区间（与指数分布，卡方分布，F分布有关联的经典例题

计算次品率的置信区间

清华大学2017年12月数学系应用统计学专业课统计学第四题

求在给定置信区间的条件下，确定该置信区间的置信水平

经典例题：独立性的判定，极大似然估计的求解，指数分布的性质

找与寻正态分布参数有关的一致最小方差无偏估计的技巧

6.5例题：求贝叶斯区间估计的经典例题（第二次录的，算新版视频）

【统计学笔记】在不同的损失函数下，求参数θ的贝叶斯估计

【经典概率题】求贝叶斯风险函数以及求贝叶斯风险

判断某个贝叶斯估计是否为minmax估计

假设检验：势函数，功效函数，犯第一类与第二类错误的概率

求功效函数，犯第一类第二类错误的概率

显著性水平为α的否定域的定义与例题

在给定显著性水平α条件下写出检验问题的拒绝域

一致最大功效否定域，即UMP否定域

给大家讲讲与分位数有关的细节问题

显著性水平为α的无偏否定域

显著性水平为α的最优无偏否定域的定义，简称UMPU否定域

N-P引理及其应用

N-P引理给出的否定域w是显著性水平为α的无偏否定域

似然比检验

求广义似然比否定域的经典例题

拟合优度检验

离散总体的拟合优度检验

如何计算假设检验问题的p值？

与大样本有关的假设检验例题

成对数据的检验

贝叶斯检验

一元线性回归中参数的分布推导

一元线性回归模型中参数的LSE之间的协方差的计算

总偏差平方和等于回归平方和加残差平方和，即ST=SR+SE

一元线性回归模型中回归平方和SR的期望E(SR)的推导过程

线性回归模型中残差平方和Se的期望E(Se)的计算推导过程

一元线性回归模型中yi与yi(hat)的协方差的推导过程

SR与SE独立的证明过程

一元线性回归模型显著性检验

与一元线性回归模型有关的经典例题

求一般回归模型参数的LSE有关的经典例题

一元线性回归模型中给定x=x0求E（y0)的置信区间

一元线性回归模型中给定x=x0求y0的预测区间

2022年北京大学432统计学第九题：LSE，无偏估计

与线性回归模型有关的假设检验问题

多元线性回归模型

多元回归模型中参数的求解

多元线性回归模型中参数的极大似然估计

最优线性无偏估计：多元线性回归模型中参数的最优线性无偏估计

多元线性回归模型中，残差随机向量e的分布推导过程

多元线性回归模型中，残差随机向量e与β(hat)相互独立

一道关于p维随机向量内容的经典题目

部分试看

关于一元线性回归的经典题目：判断a,b的最小二乘估计是否相互独立

2020清华432统计学专业课第三题第1小问：利用因子分解定理

2020年清华432统计学专业课第三题第2小问：求最短置信区间

2020年清华432统计学专业课第三题第3与第4小问

2020清华432统计学第三题第5小问：比较不同无偏估计的效率

2023年清华大学与复旦大学432统计学专业课真题第二题与第十题

2023清华432统计学专业课第三题证明UMVUE的充分必要条件

2023年清华大学432统计学专业课第五题

2023年复旦大学432统计学专业课真题第12题

2023年上海财经大学432统计学填空题第5题

2023年北京师范大学432统计学真题填空题第5题

2023年上海财经大学808概率论与数理统计真题第六题

2023年上海交通大学432统计学真题之证明题：求随机变量序列的

2023上海交通大学432统计学真题之简答题第4题

2024清华大学432统计学真题第一题

2024清华大学432统计学第二题

2024年清华大学432统计学第三题：充分统计量，无偏估计，置信

2024武汉大学432统计学第5题用绝对值几何意义求极大似然估计

2024年清华大学432统计学第五题：极大似然估计，C-R下界

2024年北京大学金融硕士考研专业课统计学第2题

2024年华南师范大学432统计学真题解答题第2题：重期望，方差

部分试看

2025年复旦大学432统计学第六题

2025年复旦大学统计学第九题：极大似然估计与充分统计量

2026年清华大学432统计学专业课第一题

部分试看

1.实对称矩阵进行谱分解的一般操作流程

部分试看

2.方阵特征值的极值问题（1）

部分试看

3.方阵特征值的极值问题（2）

4.方阵特征值的极值问题（3）：柯西—施瓦兹不等式

部分试看

5.随机矩阵的数字特征

随机变量X与Y服从正态分布，但它们联合分布不一定服从二维正态分布

求随机向量X与Y的协方差矩阵

教大家代公式：求与多元正态分布有关的条件分布的例题1

教大家代公式：求与多元正态分布有关的条件分布的例题2

教大家代公式：求与多元正态分布有关的条件分布的例题3

关于中心极限定理应用的例题：与取整误差有关的问题

与两点分布有关的求随机变量分布的经典例题

茆诗松课本习题6.6第18题：求参数的置信区间的经典题目

【利用定义证明还是利用巴苏定理证明】证明两个随机变量之间相互独立

总体服从指数分布，求e^(-λx0）的一致最小方差无偏估计

抛n次硬币，求不连续出现三次正面的概率

甲乙两袋中各抽一球相互交换，n次交换后，求甲袋中红球个数的期望

从数字1，2，3中抽n次，把抽出来的数字累加记作Xn，求Xn期望

求与两点分布有关的极限分布（韦来生 数理统计 第二版第44页）

与二维正态分布有关的经典题目，如何对二重积分进行恰当的变形

在无偏估计的条件下，使方差达到最小值，试确定ai的值

结合切比雪夫不等式证明随机变量序列Tn依概率收敛于μ

总体服从指数分布，试找寻λe^（-λ）的一致最小方差无偏估计

总体为离散型随机变量，构造二项分布来找寻参数的无偏估计

与负二项分布有关的一致最小方差无偏估计问题

找寻极小充分统计量的一般流程与步骤

2021年数学一与数学三真题第22题

2022年数学一与数学三真题第22题

2023年数学三真题第22题

2023年数学一真题第22题

茆诗松第二版6.4习题第14题：关于离散型随机变量的经典题目

利用二重积分求期望或利用对称性求期望

2018北京大学432统计学第12题：利用重期望的公式处理求期望

利用条期望并结合级数求和处理求期望、求协方差等问题

已知X1，X2，X3独立同分布于正态分布，求Y1Y2的方差

X和Y均服从正态分布，那么它们的联合分布一定服从二维正态分布吗？

分布函数列的弱极限一定是分布函数吗？不一定

部分试看

你真的可以正确使用增补变量法求概率密度函数吗？

记U^2=X^2+Y^2+Z^2，求U的概率密度函数

与无条件分布有关的经典题目

若两个随机变量的各阶矩都相等，那它们的概率密度函数一定相同吗？

找寻函数h(λ)，使得h(λ)存在有效无偏估计

部分试看

2022年复旦大学432统计学的一道真题：难度较大的题目

部分试看

2024年考研前的最后一道题：求U=X与V=｜X-Y｜的联合概率

2013年数学一与数学三真题第22题

2013年数学一与数学三真题第23题

2014年数学一与数学三真题第22题

2014年数学一与数学三真题第23题

2015年数学一与数学三真题第22题

2015年数学一与数学三真题第23题

2016年数学一与数学三真题第22题

2016年数学一与数学三真题第23题

2017年数学一与数学三真题第22题

2017年数学一与数学三真题第23题

2018年数学一与数学三真题第22题

2018年数学一与数学三真题第23题

2019年数学一与数学三真题第22题

2019年数学一与数学三真题第23题

2020年数学一与数学三真题第22题

2020年数学一与数学三真题第23题讲解

2021年数学一与数学三真题第22题讲解

2022年数学一与数学三真题第22题讲解

2023年数学一真题第22题讲解

2023年数学三真题第22题讲解

2025年数学一的第8题与第9题：泊松定理，二维正态分，二项分布

2025年数学三的第8题与第9题：二项分布，泊松定理，相关系数

部分试看

2025年数学一与数学三真题第22题：泊松分布，条件分布，二项分