当我们学习一个新鲜事物时，我们通常会提出这些问题：
它到底是个什么东西？它的概念是什么？
它有什么直观的表达或者物理意义吗？
学习它有什么用？它的应用是什么？
本文将从以上问题入手对希尔伯特变换进行总结。
一、希尔伯特变换
定义1.1 一个实值信号x(t)的希尔伯特变换被定义为
可见一个实值信号x(t)的希尔伯特变换就是将x(t)与1/(πt)进行卷积。显然它不像傅里叶变换那样从一个域到另一个域，它仍然是由时域到时域的一个变换。这里要注意的是其中的卷积积分表示的其实是该积分的柯西主值
这是由于以τ为自变量的函数x(τ)/(t-τ)在τ=t处是一个奇点。所以它与傅里叶变换相似的是，不是任何实值信号x(t)都有希尔伯特变换，它必须满足这个反常积分的柯西主值收敛。然而它又与傅里叶变换相似的是，尽管有些实值信号x(t)不满足条件，但仍从频域的角度给出了它们的希尔伯特变换。
现在我们从频域的角度来看看希尔伯特变换是怎样工作的。由于
其中sgn是符号函数，
所以一个实值信号的傅里叶变换与其希尔伯特变换的傅里叶变换的关系为：
那么希尔伯特变换在频域中所作的工作实际上是这样的：
图片来自CSDN论坛
也就是说一个实值信号经过一次希尔伯特变换，其正频率的频域部分会顺时针旋转90°，其负频率的频域部分会逆时针旋转90°；两次希尔伯特变换之后整个频域被旋转了180°，实值信号x(t)也就变成了-x(t)；四次希尔伯特变换之后又回到了原信号。这样我们也就引出了希尔伯特逆变换：
二、希尔伯特变换的性质
1.线性性质，即
由积分的线性性质显然，不作证明。
2.x(t)与H[x(t)]正交。
证：根据乘积定理有
由于x(t)是一个实值信号，所以|X(ω)|²是一个偶函数，那么sgn(ω)|X(ω)|²就是一个奇函数，所以
得证。
3.
之前已经证明过了。
4. 偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数。
证：由偶函数可得x(t)=x(-t)，则其谱有关系X(ω)=X(-ω)。而
则
那么
所以
得证。另一个同理。
5. 希尔伯特变换前后能量、平均功率不变。
证：根据Parseval等式有
得证。
6. 设低频带限的平稳信号f(t)的最高频率小于ω0，则
证：设f(t)的傅里叶变换为F(ω)，那么
所以
得证。另一个同理。
三、因果系统
定义3.1 如果一个系统，它在任一时刻的输出都只与这一时刻之前（包括这一时刻）的输入有关，与这一时刻之后的输入无关，这样的系统就叫做因果系统。
这样的系统是符合我们的一般常识的，即有因（输入）才有果（输出），所以又叫做物理可实现系统。
定理3.1 因果系统的冲激响应函数h(t)一定满足
其中u(t)是阶跃函数。这意味着在t<0时，冲激响应函数为零。
其实定理3.1也可以称得上是定义，因为它是定义3.1的数学表达。
定理3.2 因果系统的频率响应函数的实部与虚部是一对希尔伯特变换对（即其中一个是另一个的希尔伯特变换，有时也称它们满足希尔伯特变换关系）。
证：将等式左右同时取傅里叶变换，于是
设H(ω)=R(ω)+jX(ω)，那么
所以
得证。
特别的，物理领域中有一个Kramers-Kronig关系（K-K关系）也叫色散关系，它描述的是固体光学常数的实部与虚部之间的关系。
凡是由因果关系决定的光学响应函数，其实部与虚部都不是相互独立的，用来描述这些响应的每一对宏观的光学常数之间都存在一定的内在联系，基于一定的微观物理模型，通过一些物理关系，可以解出上述这些量的表达式，可以找到它们之间的内在联系，但是，不依赖于具体的物理模型，从这些基本的物理量性质及基本的物理条件开始，应用数学计算方法也可以推导出它们之间的函数关系和内在联系，这就是在光学常数测量中和计算中经常用得到的K-K色散关系。
在这里激发因素就是入射光，在入射光的照射下材料做出一定的光学响应。一般的，无论什么形式的能量在介质中传播如果存在能量吸收损耗的情况，基本上都是用复数来表示响应函数，其实部表示的是真实的对应的物理量，虚部就表示该能量形式的损耗表征。这里我们以电极化率为例推导出K-K关系。
在电磁学中有等式
其中E是外电场的电场强度，ε0是真空绝对介电常数，χ（读音与“器”类似）表示的是介质材料处在该电场下的电极化率，P就表示介质材料处在该电场下的电极化强度。
一般的，电场强度是随时间变化的，而电极化率又会随着电场强度的变化而变化，所以电极化强度也会随着时间的变化而变化。由于介质材料的电极化率无法瞬时的响应一个随时间变化的外电场。因此
并且当t<0时χ(t)=0。这表示了任一时刻的电极化强度只可能与该时刻之前的外电场有关（正因为这样才由乘积变成了卷积）。
将等式左右同取傅里叶变换有
其中
我们的目的是找出χ(ω)的希尔伯特变换H[χ(ω)]，然后再观察H[χ(ω)]与χ(ω)的关系。由于H[χ(ω)]是由卷积定义的，并且它是一个积分的柯西主值，为了便于计算，我们应用复变函数的相关知识，把ω看做一个复数。
由于
在下半平面收敛，故χ(ω)在下半平面解析。所以
我们假设ω→0时P(ω)→0，即频率趋于无穷时介质材料来不及作出响应。故ω→0时χ(ω)→0，所以有
那么
以上两个曲线积分在大部分复变函数的书中的“利用留数定理计算实积分”或者“围道积分法”一节中会以引理的形式给出并证明，这里就不展开了。所以
设
那么就有
然后就得到了K-K色散原理
四、解析信号
希尔伯特变换的主要目的就是引出解析信号。
定义4.1 一个实值信号f(t)的解析信号z(t)被定义为
从频域的角度来看：
所以解析信号是将原信号的负频率成分去掉然后正频率成分加倍所得到的信号，这个信号一般来说是一个复值信号。
虽然解析信号只用了原信号一半的频域，由于解析信号的实部就是原信号，所以它仍保有原信号的全部信息。这样就有了下面的这个重要应用。
五、希尔伯特变换的一个重要应用：单边带（SSB）调制
1.调制与解调
首先我们要搞清楚什么是调制、什么是解调，我们直接来看一个例子。
假设发射者想给接收者传递一个低频信号，但是传递过程中的这个系统它通高频阻低频（在现实生活中，信号在远距离传输时，低频信号会比高频信号能量损失更大，这也是人们希望将信号往高频上调的一个原因），那么发射者就需要将低频信号调制到高频去，比如
其中ω0需要大于a(t)的最高频率，否则会导致原信号的失真。我们在中学数学中学的一般正弦函数为Acos(ω0t+φ)，以上式子我们可以理解为它的振幅A不是一个常数了，而是一个随时间缓慢变化（低频）的函数a(t)。
然后接收者接收到这个调制信号之后还需要对其进行解调以获取发射者想传递的信号。先取调制信号的解析信号：
然后解析信号z(t)再乘以e^-jω0t就得到了原信号
其频域的变化大概是这样的，原低频信号a(t)的频谱为
其调制之后的调制信号f(t)=a(t)cosω0t的频谱为
接收者接收到以上信号f(t)并取其解析信号z(t)，其频谱为：
再将解析信号z(t)乘以e^-jω0t得到原信号a(t)：
调制分为调幅、调频和调相，以上就是最常见的调幅，并且本文主要考虑调幅。
2.频分复用（FDM）
假设有多个发射者与多个接收者，但只有一个发射器与一个接收器，如果要使每个接收者都能接收到相对应的发射者的信号并且他们之间互不干扰，这时应该怎么办呢？
频分复用简单来说就是各个原信号在时域上共用，但在频域上相互独立的一个方式。从之前例子我们可以看出，我们总能将各个原信号调制至不同的频率段，使得它们互不干扰，并且通过之前类似的方法总能将调制信号中的各个原信号解调出来。
比如有三个低频信号a(t)、b(t)和c(t)，将其调制为
其频谱为
若要得到原信号b(t),先将调制信号f(t)经过带通滤波器（BPF），然后像之前一样就能都得到原信号b(t)。
3.单边带（SSB）调制
之前我们看到，将解析信号z(t)乘以e^-jω0t确实得到了原信号a(t)。而它在频域的变换其实就是向左平移ω0个单位，这就说明调制后的每个小波的左右半波所包含的信息都是一样的。这也就是说频谱为这样的：
其实就已经可以将原信号还原了，不过这样频谱的信号一般来说是一个复值信号，所以仍然会用频谱为下图二者之一的信号：
我们将这样的左右半波称为边带，频率相对高的边带称为上边带（USB）如左图，频率相对低的边带称为下边带（LSB，由于双边带是DSB：double side-band，所以下边带用LSB：low side-band而非DSB：down side-band）如右图。
这样的好处也很明显，在频分复用调制时可以节约一半的频域用来输送更多的信号。像这样（下文只考虑上边带的情况，下边带类似）：
单边带调制在调制与解调时也大大简化了，它甚至不需要求解析信号了。比如要将原低频信号a(t)单边带调制到频率ω0上去，只需要将频谱的左右半波分别向左向右平移ω0个单位。设fa(t)为其调制后的信号，za(t)为其解析信号，注意到解析信号的共轭za*(t)就是将正频率成分消除、负频率成分加倍，则
然后将所有需要传输信号的调制信号加起来就得到了最终的调制信号f(t)。接收端则先通过带通滤波器得到某一个想要解调的信号后，再将正负频波平移回来就可以了。设fa(t)为f(t)经过带通滤波器后的a(t)的调制信号，z(t)为其解析信号，那么原信号a(t)就是
最后，我使用MATLAB对六个随机信号（为了体现一般性，我使用了随机信号）进行了仿真。随机生成的六个原信号。
六个随机信号及对应频谱
然后分别将六个随机信号用低通滤波器处理，一方面是为了消除噪音，另一方面为更好的调频做准备。
六个滤波信号及对应频谱
随后对这六个滤波信号进行单边带调频，过程不再赘述。
单边带调制信号及对应频谱
接收端接收上述调制信号后，分别经过六个不同的带通滤波器得到六个带通信号。
六个带通信号及对应频谱
最后分别对六个带通信号解调得到六个解调信号，与原信号对比几乎一致。
六个解调信号及对应频谱
