小世界网络是一种类型的数学曲线图，其中大多数节点不在彼此的邻居，但任何给定节点的邻居可能是彼此的邻居和最节点可从所有其他节点通过一个小的到达跃点数或步数。具体来说，小世界网络定义为这样的网络，其中两个随机选择的节点之间的典型距离L（所需步数）与网络中节点数N的对数成正比增长，即：

而聚类系数不小。在社交网络的背景下，这导致小世界现象的陌生人是这样进行的短链连接的熟人。许多经验图显示了小世界的影响，包括社交网络，维基百科（如Wikipedia），基因网络，甚至是互联网的基础架构。它是当代计算机硬件中许多片上网络体系结构的灵感来源。

小世界网络的某一类别被确定为一类的随机图通过邓肯瓦和史蒂芬斯托加茨在1998年他们指出，图可根据两个独立的结构特征，即进行分类的聚类系数和平均节点到节点的距离（也称为平均最短路径长度）。根据Erdős–Rényi（ER）模型构建的纯随机图呈现出小的平均最短路径长度（通常随节点数的对数变化）以及小的聚类系数。瓦茨和斯特罗加兹（Watts and Strogatz）测算，实际上许多现实世界网络的平均最短路径长度均较小，但其聚集系数也大大高于随机机会所预期的水平。然后，Watts和Strogatz提出了一种新颖的图形模型，目前称为Watts and Strogatz模型，该模型具有

（i）最小的平均最短路径长度

（ii）较大的聚类系数

Barthelemy和Amaral于1999年首次描述了Watts–Strogatz模型在“大世界”（例如格子）和小世界之间的交叉。这项工作之后进行了许多研究，包括精确的结果（Barrat和Weigt，1999； Dorogovtsev和Mendes； Barmpoutis和Murray，2010）。Braunstein 发现，对于加权ER网络，其中权重分布非常广泛，最优路径尺度显着变长，并且尺度为  N^(1/3)。

小世界网络的属性

小世界网络往往包含集团和近距离网络，这意味着子网中几乎任何两个节点之间都具有连接。这归因于高聚类系数的定义特性。其次，大多数节点对将通过至少一条短路径连接。这从定义属性得出，平均最短路径长度较小。其他一些属性通常与小世界网络相关。通常有的过丰度集线器 -节点具有大量连接的网络（称为高程度节点）。这些集线器充当公共连接，在其他边缘之间传递较短的路径长度。以此类推，小规模的航空网络具有较小的平均路径长度（即，在任何两个城市之间，您可能必须乘坐三个或更少的航班），因为许多航班都经过枢纽城市。通常通过考虑网络中具有特定数量连接的节点的比例（网络的度分布）来分析此属性。集线器数量多于预期的网络将具有更高比例的更高比例的节点，因此，程度分布将在高程度值时得到丰富。通俗地称为胖尾分布。只要拓扑结构满足上述两个定义要求，就可以将它们视为小型世界网络。

网络小世界已通过小系数量化，sigma通过比较给定网络与平均程度相同的等效随机网络的聚类和路径长度来计算。

如果 sigma> 1(C>>C_r) 和

，网络就是小世界。但是，由于该指标受网络规模的严重影响，因此该指标的效果不佳。

量化网络小世界性的另一种方法是利用小世界网络的原始定义，将给定网络的聚类与等效的点阵网络及其路径长度与等效的随机网络进行比较。小世界的衡量标准omega定义为

所述特征路径长度大号和聚类系数Ç从要测试的网络计算，C_ℓ是对于相等的晶格网络的聚类系数和C_r是等效的随机网络的特征路径长度。

量化小世界的另一种方法是将网络的聚类和路径长度相对于等效点阵和随机网络中的这些特征进行归一化。小世界指数（SWI）定义为

ω '和SWI范围在0和1之间，并且已显示出小世界方面。但是，他们采用的理想小世界概念略有不同。对于给定的一组约束（例如，大小，密度，度分布），存在一个ω '= 1 的网络，因此ω旨在捕获具有给定约束的网络的范围尽可能小。与此相反，有可能不存在网络SWI = 1，从而SWI目标捕捉到与给定的约束网络接近网络，其中的理论小世界理想的程度为其C接近C_l和L接近L_r。

R. Cohen和Havlin 分析表明，无标度网络是超小世界。在这种情况下，随着

最短路径变得越来越小

小世界网络的例子

在许多现实世界现象中都发现了小世界属性，包括带有导航菜单的网站，食物网，电网，代谢物处理网络，脑神经元网络，选民网络，电话图，机场网络，和社交网络影响网络。文化网络和单词共现网络也已被证明是小世界网络。

连接的蛋白质网络具有较小的世界性质，例如幂律服从度分布。类似的转录网络，其中的节点是基因，并且如果一个基因对另一个基因有上调或下调的遗传影响，则它们相互连接，它们的网络网络很小。

非小世界网络的例子

在另一个例子中，著名的人与人之间的“ 六度分离 ” 理论默认地认为话语的范围是在任何时候都活着的人的集合。爱因斯坦和亚历山大大帝之间的分离度几乎可以肯定大于30，并且该网络不具有小世界性质。一个类似的受限制的网络将是“与学校一起上学”的网络：如果两个人相距十年都去同一所大学，那么他们之间不太可能在学生团体中有共同的相识。

同样，消息必须通过的中继站的数量也不总是很小。在邮递是手工或骑马的日子里，一封信在其出处和目的地之间换手的次数将比今天多得多。在可视电报时代（大约1800–1850年），消息易手的次数由两个站点之间必须通过视线连接来确定。

如果不进行检查，默认的假设可能会导致图表上的文献出现偏见，从而有利于寻找小世界网络（因出版物偏见而导致的文件抽屉效应的示例）。

网络健壮性

诸如Barabási之类的一些研究人员假设，小世界网络在生物系统中的盛行可能反映了这种架构的进化优势。一种可能性是，小世界网络比其他网络体系结构对干扰的鲁棒性更高。如果是这样的话，它将为遭受突变或病毒感染而遭受破坏的生物系统提供优势。

在具有遵循幂律的度数分布的小型世界网络中，删除随机节点很少会导致平均最短路径长度急剧增加（或聚类系数急剧减少）。这是由于节点之间的最短路径流经集线器，并且如果删除了外围节点，则不太可能干扰其他外围节点之间的通过。由于小型世界网络中外围节点的比例远高于集线器的比例，因此删除重要节点的可能性非常低。例如，如果爱达荷州太阳谷的小型机场被关闭，这不会增加其他在美国旅行的乘客到达各自目的地所必须乘坐的平均航班数量。但是，如果节点的随机删除偶然碰到了集线器，则平均路径长度可能会急剧增加。每年，当北部枢纽机场（例如芝加哥的奥黑尔机场）因降雪而关闭时，都可以观察到这种情况。许多人不得不乘坐其他航班。

相反，在所有节点都具有大致相同数量的连接的随机网络中，删除随机节点可能会略微增加平均最短路径长度，但对于几乎所有删除的节点而言，都会显着增加。从这个意义上说，随机网络容易受到随机扰动的影响，而小世界网络则很健壮。但是，小世界网络很容易受到集线器的有针对性的攻击，而随机网络则不能成为灾难性故障的目标。

适当地，病毒已经进化为干扰毂蛋白如p53的活性，从而引起了细胞行为的巨大变化，这有利于病毒复制。渗流理论是分析网络鲁棒性的一种有效方法。

小世界网络的建设

构造小世界网络的主要机制是Watts–Strogatz机制。

小世界网络也可以引入时延，在适当的条件下，它不仅会产生分形，还会产生混沌，或者在动力学网络中过渡为混沌。

构造度数-直径图，使得网络中每个顶点具有的邻居数有界，而从网络中任何给定顶点到任何其他顶点的距离（网络直径）最小。建立这样的小世界网络是作为寻找接近摩尔定界的有序图的一部分。

Barmpoutis 等人给出了从头开始构建小型世界网络的另一种方法。其中构建了具有非常小的平均距离和非常大的平均聚类的网络。给出了具有恒定复杂度的快速算法，以及对结果图的鲁棒性的测量。根据每个网络的应用，可以从一个这样的“超小型世界”网络开始，然后重新布线一些边缘，或者将几个小的此类网络用作子图来生成较大的图。

小世界属性可以通过双阶段演化过程在社交网络和其他现实世界系统中自然产生。这在时间或空间限制限制顶点之间连接的添加时特别常见。该机制通常涉及阶段之间的周期性移动，其中连接在“全局”阶段添加，在“局部”阶段增强或删除。

小世界网络可以从无标度类变为宽泛类，由于约束限制了新链路的添加，其遵循电力法则的连通性分布会急剧下降。对于足够强大的约束，无标度网络甚至可以成为单标度网络，其连接分布特征是快速衰减。

社会学应用

小规模社交网络对于社会运动团体的优势在于，由于使用高度连接的节点的过滤设备，它们具有抵抗变化的能力，并且在中继信息的同时具有更好的有效性，同时将连接网络所需的链接数降至最低。

小世界网络模型直接适用于威廉·芬尼根（William Finnegan）在社会学论证中所代表的亲和力群论。亲和力团体是社交运动团体，规模较小且半独立，承诺实现较大的目标或职能。尽管在节点级别上基本上没有隶属关系，但一些具有高连接性的成员充当连接性节点，通过网络链接不同的组。这种小世界模式已证明是一种非常有效的抗议组织对警察行动的战术。Clay Shirky认为，通过小世界网络创建的社交网络越大，网络内高连接性的节点就越有价值。亲和力团体模型也可以这样说，每个团体中与外部团体连接的少数人可以进行大量的动员和适应。一个实际的例子是威廉·芬尼根（William Finnegan）参照1999年西雅图世贸组织（WTO）抗议活动概述的通过亲和力团体建立的小世界网络。

在地球科学中的应用

已证明许多在地质和地球物理学领域研究的网络具有小世界网络的特征。在裂缝系统和多孔物质中定义的网络已经证明了这些特征。南加州地区的地震网络可能是小世界网络。上面的示例在非常不同的空间尺度上发生，证明了地球科学中现象的尺度不变性。气候网络可以被视为小世界网络，其中链路的长度范围不同。

计算应用

小世界网络已用于估计存储在大型数据库中的信息的可用性。该措施称为“小世界数据转换措施”。数据库链接与小型世界网络的链接越多，用户将来将来提取信息的可能性就越大。这种可用性通常是以可以存储在同一存储库中的信息量为代价的。

所述Freenet的对等网络的网络已被证明以形成模拟一个小型世界网络，使信息能够被存储和以这样的方式检索到秤效率随着网络的发展。

大脑中的小世界神经网络

大脑中的解剖学连接和皮层神经元的同步网络都显示了小世界拓扑。

一个由小世界组成的神经元网络可以表现出短期记忆。Solla 等人开发的计算机模型。有两个稳定状态，一种属性（称为双稳态）被认为在内存存储中很重要。激活脉冲在神经元之间产生通信活动的自我维持循环。第二个脉冲结束了此活动。脉冲在稳定状态之间切换系统：流动（记录“内存”）和停滞（保持状态）。小世界神经元网络也已用作了解癫痫发作的模型。

在更一般的水平上，大脑中的许多大型神经网络，例如视觉系统和脑干，都表现出小世界的特性。

具有链接长度分布的小世界

小世界网络模型包括远程链接的均匀分布。当链路长度的分布遵循幂律分布时，两个站点之间的平均距离会根据分布的幂而变化。